[論文レビュー] A variational approach to high-order r-adaptation

Julian Marcon, Michael G. Turner+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、メトリックテンソルを用いてターゲット要素を操作することでノード再配置を誘導し、要素の歪みを最小化する変分フレームワークを、高次r適応に適用する手法を提案する。この手法は、曲線的特徴付近での分解能の向上を実現しつつ、メッシュ接続性と自由度を保持したまま、非等方的かつ高次のメッシュ適応を達成した。

ABSTRACT

A variational framework, initially developed for high-order mesh optimisation, is being extended for r-adaptation. The method is based on the minimisation of a functional of the mesh deformation. To achieve adaptation, elements of the initial mesh are manipulated using metric tensors to obtain target elements. The nonlinear optimisation in turns adapts the final high-order mesh to best fit the description of the target elements by minimising the element distortion. Encouraging preliminary results prove that the method behaves well and can be used in the future for more extensive work which shall include the use of error indicators from CFD simulations.

研究の動機と目的

• 高次有限要素法におけるr適応を可能にするため、変分メッシュ最適化フレームワークを拡張すること。
• 関心領域に解像度を集約しつつ、メッシュ接続性と自由度を維持すること。
• メトリックテンソルを用いてターゲット要素の形状を定義することで、適応メッシュ生成の可能性を示すこと。
• 今後、CFDシミュレーションからの誤差指標と統合する基盤を提供すること。
• 高価なリメッシュを伴わず、非定常流れシミュレーションに適した効率的なノードベースの適応を可能にすること。

提案手法

• メッシュ歪みを最小化するため、超弾性変形エネルギーに基づく変分式を用いる。
• ターゲット要素は、望ましい要素形状とサイズを符号化するメトリックテンソルによって定義され、等方的または非等方的適応を可能にする。
• 回転、スケーリング、再回転による線形変換を通じて、ターゲットマッピングのヤコビアンを変更し、方向性の細分化を実現する。
• 空間的に変化するスケーリング係数を定義するためにガウス分布が用いられ、円形領域周囲に局所的な細分化を生成する。
• 現在のメッシュとメトリックで定義されたターゲット要素間の変形エネルギー関数を最小化することで、ノードを再配置する。
• 各要素のターゲットは重心で計算され、1つのメトリックテンソルを用いて線形のターゲット要素が得られ、最適化プロセスで曲線形状に変形される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分メッシュ最適化フレームワークを高次メッシュにおけるr適応をサポートするように拡張可能か？
• RQ2 メトリックテンソルをどのように用いて、局所的メッシュ細分化を実現する非等方的ターゲット要素形状を定義できるか？
• RQ3 曲線的領域における要素品質と解像度集中の観点から、この手法の挙動はいかなるものか？
• RQ4 高解像度適応を達成しつつ、メッシュ接続性と自由度を維持できるか？
• RQ5 今後、CFDシミュレーションからの誤差指標を統合するために、このアプローチをどのように一般化できるか？

主な発見

• 単位直径の円周に沿って非等方的細分化が成功裏に達成され、径方向にのみ要素が圧縮された。
• 適応後のメッシュは、ターゲット領域周辺に顕著な解像度集中を示し、ノード再配分に伴い他の領域で粗化が観察された。
• この手法は要素の接続性を保持し、適応中でも自由度の数を一定に維持した。
• アルゴリズムはターゲット領域付近で非常に曲がった要素を生成し、高次メッシュ適応の期待される挙動と整合的であった。
• 重心における1つのメトリックテンソルを用いることで線形のターゲット要素が得られ、最適化プロセスで曲線形状に変形された。
• 予備的な結果は、手法の実現可能性と頑健性を確認しており、今後の誤差指標統合への強い可能性を示している。