[論文レビュー] A variational approach to second order mean field games with density constraints: The stationary case

Alpár R. Mészáros, Francisco J. Silva|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 45被引用数 57

ひとこと要約

本稿では、有界領域における第二階の定常平均場ゲーム系に対して、密度制約（m ≤ 1 almost everywhere）のもとで弱解の存在を、変分的アプローチを用いて確立する。Benamou-Brenier型汎関数を含む凸最適化問題として問題を定式化し、任意の成長次数 q′ を持つべきHamiltonianに対しても、Sobolev正則性、超微分計算、および標準的資格条件が成立しない場合の近似手法を用いて存在を示す。

ABSTRACT

In this paper we study second order stationary Mean Field Game systems under density constraints on a bounded domain $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^d$. We show the existence of weak solutions for power-like Hamiltonians with arbitrary order of growth. Our strategy is a variational one, i.e. we obtain the Mean Field Game system as the optimality condition of a convex optimization problem, which has a solution. When the Hamiltonian has a growth of order $q' \\in ]1, d/(d-1)[$, the solution of the optimization problem is continuous which implies that the problem constraints are qualified. Using this fact and the computation of the subdifferential of a convex functional introduced by Benamou-Brenier, we prove the existence of a solution of the MFG system. In the case where the Hamiltonian has a growth of order $q'\\geq d/(d-1)$, the previous arguments do not apply and we prove the existence by means of an approximation argument.

研究の動機と目的

• 第二階の定常平均場ゲーム系に対して、人口密度 m ≤ 1 almost everywhere という制約のもとで、弱解の存在を厳密に確立すること。
• Benamou-Brenier型汎関数を含む凸最小化問題の最適性条件としてMFG系を定式化する変分的枠組みを構築すること。
• 標準的資格条件が成立しない臨界ケース q′ ≥ d/(d−1) を含む、任意の成長次数 q′ を持つハミルトニアンに対しても、既存の存在結果を拡張すること。
• 最適化問題の非強凸的かつ非滑らか性に対処するため、正則化および近似スキームを導入すること。

提案手法

• MFG系を、現在 w の Lq-ノルムとエネルギー項 F(x,m) を含む凸最適化問題の最適性条件として定式化し、連続の方程式および密度制約を満たすようにする。
• 変分法の直接法を用いて、q > d に対して W1,q(Ω) × Lq(Ω)d 内の最小化子 (m,w) の存在を証明する。
• q > d のときの埋め込み W1,q(Ω) ↪ C(Ω) を用いて m の連続性を保証し、最適化問題の制約資格条件を満たす。
• Benamou-Brenierによって導入された凸汎関数の超微分を用いて、双対変数 (u, λ, µ, p) を導出し、MFG系を弱形式で得る。
• 臨界ケース q′ ≥ d/(d−1) に対しては、ハミルトニアンの正則化と ε > 0 を用いた近似スキームを用い、Sobolev空間およびLebesgue空間における弱収束および a.e. 収束を用いて解の収束を証明する。
• Poincaré不等式およびSobolev埋め込みを用いたコンパクト性の議論と、W1,q′(Ω) および Lq(Ω)d 内の弱収束を用いて、収束する部分列を抽出し、正則化された系において極限に移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常第二階MFG系に密度制約 m ≤ 1 a.e. が課された場合、変分的アプローチを用いて弱解の存在を示すことができるか？
• RQ2 ハミルトニアンの成長次数が q′ ≥ d/(d−1) である場合、標準的資格条件が成立しないにもかかわらず、存在理論はどのように変化するか？
• RQ3 密度制約が存在する状況において、Benamou-Brenier型汎関数の超微分はどのように計算できるか？
• RQ4 MFG系におけるラグランジュ乗数 µ および p は、非滑らかケースにおいてもそれぞれ {m=0} および {m=1} 上に台を持つ測度として解釈可能か？

主な発見

• 成長次数 q′ ∈ (1, d/(d−1)) のべき関数型ハミルトニアンに対して、凸最適化問題の解 (m,w) は連続的である。これにより制約資格条件が満たされ、超微分計算の直接適用が可能になる。
• MFG系 (MFGq) の弱解 (u, m, λ, µ, p) が分布の意味で存在することが証明され、µ および p はそれぞれ {m=0} および {m=1} 上に台を持つ非負の測度である。
• 臨界ケース q′ ≥ d/(d−1) においては、正則化されたハミルトニアンを用いた近似スキームにより存在が確立され、解 (uε, mε, wε) が W1,q′(Ω) × W1,q(Ω) × Lq(Ω)d 内で極限 (u, m, w) に収束する。
• 極限系は弱形式でのMFG方程式を満たし、第一の式には測度値項 ρ = γ − (1/q′)|∇u|q′dx が含まれる。また、不等式 (5.3) により弱集中性 ⟨µ − p, m⟩ ≤ 0 が導かれる。
• 本稿では、双対変数 p が制約 m ≤ 1 のラグランジュ乗数として機能し、その台が {m = 1} 内に含まれることを証明している。一方、µ は {m = 0} 上に台を持つ。
• 標準的PDE推論が失敗する場合でも、凸双対性および近似手法に依拠することで、変分的アプローチが依然有効であることが分析により確認された。