[論文レビュー] A variational discrete element method for quasi-static and dynamic elasto-plasticity

Frédéric Marazzato, Alexandre Ern+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2019

Vibration and Dynamic Analysis被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、一般の多面体メッシュ上での準静的および動的線形弾塑性を扱うための変分的離散要素法（DEM）を提示する。最低次の非連続ガラーキン枠組みを用い、セル中心の変位と面ベースの勾配再構成を行う。本手法はヤング率とポisson比を直接入力パラメータとして用い、動的解析においてエネルギー保存を保証する。また、体積力に近い極限（ν → 0.5）においても安定した時間積分が可能であり、対角行列型質量行列と境界頂点の自由度によるCFL安定性の向上により、強固な性能を示す。

ABSTRACT

We propose a new discrete element method supporting general polyhedral meshes. The method can be understood as a lowest-order discontinuous Galerkin method parametrized by the continuous mechanical parameters (Young's modulus and Poisson's ratio). We consider quasi-static and dynamic elasto-plasticity, and in the latter situation, a pseudo-energy conserving time-integration method is employed. The computational cost of the time-stepping method is moderate since it is explicit and used with a naturally diagonal mass matrix. Numerical examples are presented to illustrate the robustness and versatility of the method for quasi-static and dynamic elasto-plastic evolutions.

研究の動機と目的

• マクロな材料パラメータ（ヤング率とポisson比）をフィッティング手順を経ずに直接使用できる離散要素法の開発。
• ボロノイ分割や球形粒子に依存しない一般の多面体メッシュへのDEMフレームワークの拡張。
• 従来のDEMがしばしば失敗する体積力に近い極限（ν → 0.5）においても、安定性と精度を確保すること。
• エネルギー保存型時間積分を用いた準静的および動的シミュレーションの両対応。
• 収束解析のための勾配離散化手法と整合性を持つ統一フレームワークの提供。

提案手法

• 各メッシュセル内で勾配を定数関数として再構成し、セルの面における局所的変位再構成に基づく。
• 離散ストークスの定理を適用して、面ベースの変位再構成からひずみテンソルを計算し、変分的定式化を可能にする。
• 変位自由度をセルの重心および境界頂点に配置することで、明示的時間積分に適した対角行列型質量行列を確保する。
• 塑性ひずみをセル単位の定数内部変数として扱い、一貫した弾塑性更新を可能にする。
• 時間積分には明示的で2次精度の疑似エネルギー保存スキームを採用し、動的シミュレーションにおける全エネルギーの保存を維持する。
• 幾何的前処理ステップにより、面における変位再構成が補外ではなく補間に基づくようにし、数値的条件を改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボロノイ分割や球形粒子に依存せずに、一般の多面体メッシュ上に変分的DEMを定式化できるか？
• RQ2 Eとνのような物理的パラメータを直接使用しながら、Cauchyの弾塑性理論と整合性を保つにはどうすればよいか？
• RQ3 標準的なDEMがしばしば失敗する体積力に近い極限（ν → 0.5）においても、本手法は安定性と精度を維持できるか？
• RQ4 エネルギー保存型時間積分を用いた準静的および動的両シミュレーションをサポートできるか？
• RQ5 境界頂点の自由度を導入することで、明示的時間スキームにおけるCFL安定性制限にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 対角行列型質量行列を達成し、安定な時間ステップを伴う効率的な明示的時間積分が可能となった。
• 境界頂点の自由度の導入により、剛性行列の最大固有値が顕著に低下し、CFL安定性制限が改善された。
• ν → 0.5 に対しても、応力テンソルのトレースに低振動を示し、安定した挙動を示した。これは、標準的なP1ラグランジュFEMを上回る性能であった。
• 動的ねじりシミュレーションにおいて、全エネルギーが運動エネルギー、弾性エネルギー、塑性エネルギー散逸の合計とよく一致し、優れたエネルギーバランスを示した。
• 塑性波の伝播が正確に捉えられた：塑性流れは片端から始まり、t = T 時点でビーム全体にわたって伝播した。物理的期待と整合的であった。
• DEMはペナルティ付きCrouzeix–Raviart FEMと同等の塑性エネルギー散逸値を生成したが、P1ラグランジュFEMは顕著な差異を示した。