[論文レビュー] A variational non-linear constrained model for the inversion of FDEM data

Alessandro Buccini, Patricia Díaz de Alba|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2021

Geophysical and Geoelectrical Methods参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、周波数領域電磁誘導（FDEM）データの逆問題に適した変分的非線形制約モデルを提案する。このモデルは、垂直プロファイルを結合することで、ノイズに起因する「スプライシング」歪みを抑制する。ℓ2−ℓq機能を最小化し、0 < q ≤ 2 および非負制約を課すことにより、導電率モデルのラプラシアンにおけるスパarsityを促進し、ノイズ下でも安定的かつ正確な解を得られる。実験では、合成データおよび実世界データにおいて、最先端手法を上回る優位性を示した。

ABSTRACT

Reconstructing the structure of the soil using non-invasive techniques is a very relevant problem in many scientific fields, like geophysics and archaeology. This can be done, for instance, with the aid of Frequency Domain Electromagnetic (FDEM) induction devices. Inverting FDEM data is a very challenging inverse problem, as the problem is extremely ill-posed, i.e., sensible to the presence of noise in the measured data, and non-linear. Regularization methods substitute the original ill-posed problem with a well-posed one whose solution is an accurate approximation of the desired one. In this paper we develop a regularization method to invert FDEM data. We propose to determine the electrical conductivity of the ground by solving a variational problem. The minimized functional is made up by the sum of two term: the data fitting term ensures that the recovered solution fits the measured data, while the regularization term enforces sparsity on the Laplacian of the solution. The trade-off between the two terms is determined by the regularization parameter. This is achieved by minimizing an $\ell_2 - \ell_q$ functional with $0 < q \leq 2$. Since the functional we wish to minimize is non-convex, we show that the variational problem admits a solution. Moreover, we prove that, if the regularization parameter is tuned accordingly to the amount of noise present in the data, this model induces a regularization method. Some selected numerical examples on synthetic and real data show the good performances of our proposal.

研究の動機と目的

• FDEMデータから地下の電気的導電率を再構成する、不適切な非線形逆問題に対処する。
• ノイズの影響とプロファイル間の独立処理に起因する、従来の一様な一次元逆問題手法における「スプライシング」アーチファクトを克服する。
• 隣接する垂直導電率プロファイルを結合することで、安定性と収束性を保証する正則化手法を開発する。
• 非負制約を伴う非線形逆問題におけるℓ2−ℓq最小化の理論的基盤を確立する。
• 本手法の有効性を合成および実FDEMデータに適用し、再構成精度の向上を実証する。

提案手法

• データ適合性（ℓ2ノルム）と導電率のラプラシアンのℓqノルム正則化を組み合わせた汎関数を最小化する変分問題として逆問題を定式化する。
• 2次元の地上を、水平方向に独立した1次元プロファイルを並べた行列 Σ ∈ ℝ^{n×N} で離散化表現する。
• Lを離散ラプラシアンとする行列 D = L ⊗ I + I ⊗ L を用いて、高次のTotal Variationに類似した正則化を適用し、勾配の空間的滑らかさとスパarsityを強制する。
• 物理的現実を反映させるために、Σに非負制約を課す。
• 線形問題向けに先行して開発された手法を拡張した修正反復アルゴリズムを用いて、非凸最適化問題を解く。
• ノイズレベルに応じて正則化パラメータ γ を調整し、正則化の性質と収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 垂直FDEMプロファイルの水平方向結合は、ノイズに起因する導電率再構成における「スプライシング」アーチファクトを顕著に低減できるか？
• RQ2 0 < q ≤ 2 のℓ2−ℓq最小化は、非線形FDEM逆問題において安定的かつ収束性を有する正則化手法を提供できるか？
• RQ3 合成および実FDEMデータに適用した場合、本手法は既存の一様な一次元逆問題手法と比較して、精度が向上するか？
• RQ4 ℓqパラメータ（q ∈ (0,2]）を変化させた場合、再構成品質および勾配のスパarsityにどのような影響を与えるか？
• RQ5 線形逆問題におけるℓ2−ℓqの理論的正則化性は、非線形逆問題へと拡張可能か？

主な発見

• 合成データにおいて、本手法は[14]で提案された最先端手法と比較して相対的再構成誤差（RRE）を最大30％まで低減した。テスト1ではRREが0.554から0.378に低下した。
• Molentargius Saline Parkの実データでは、本手法は「スプライシング」アーチファクトのない再構成を達成したが、[14]の手法は複数の場所で顕著なスプライシングを示した。
• 本手法による再構成は明確に水位面を捉えており、[14]の手法はより断片的かつ一貫性のない画像を生成した。
• 100×200の合成モデルでは、本手法のRREは0.36258に達し、[14]が得た0.93571と比べて顕著に低い値であった。これは高次元設定下でも頑健であることを示している。
• 理論的分析により、変分問題が解を有し、パラメータγをノイズレベルに合わせて調整すれば正則化が誘導されることを確認した。
• 数値結果から、q = 0.1に設定した場合、導電率モデルのラプラシアンにおけるスパarsityが向上し、再構成品質が優れたことが示された。