[論文レビュー] A Variational Quantum Algorithm for Preparing Quantum Gibbs States

Anirban Chowdhury, Guang Hao Low+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 53

ひとこと要約

本論文は、自由エネルギー最小化によって量子ギブズ状態を作成する変分アルゴリズムを導入し、フーリエ級数に基づくエントロピー推定と近年の量子デバイス上でのハミルトニアンエネルギー評価を用いる。

ABSTRACT

Preparation of Gibbs distributions is an important task for quantum computation. It is a necessary first step in some types of quantum simulations and further is essential for quantum algorithms such as quantum Boltzmann training. Despite this, most methods for preparing thermal states are impractical to implement on near-term quantum computers because of the memory overheads required. Here we present a variational approach to preparing Gibbs states that is based on minimizing the free energy of a quantum system. The key insight that makes this practical is the use of Fourier series approximations to the logarithm that allows the entropy component of the free-energy to be estimated through a sequence of simpler measurements that can be combined together using classical post processing. We further show that this approach is efficient for generating high-temperature Gibbs states, within constant error, if the initial guess for the variational parameters for the programmable quantum circuit are sufficiently close to a global optima. Finally, we examine the procedure numerically and show the viability of our approach for five-qubit Hamiltonians using Trotterized adiabatic state preparation as an ansatz.

研究の動機と目的

• 量子シミュレーションおよび機械学習タスクのためにギブズ（熱的）状態を準備する必要性を動機づける。
• 近年の量子ハードウェアにおけるメモリ使用量を削減する実用的な変分アプローチを開発する。
• フーリエ級数表現と密度行列指数法を用いてフォン・ノイマンエントロピーを効率的に推定する方法を提供する。

提案手法

• パラメータ化された量子回路上の自由エネルギー最小化としてギブズ状態の準備を定式化する。
• 密度行列指数法を用いて実装されたρ cos(ρ t)およびρ sin(ρ t)の項の閾値を用いたフーリエ級数近似でフォン・ノイマンエントロピーを推定する。
• ハミダード検査風の回路と振幅推定を用いて、ハミルトニアンを一連のユニタリの和に分解してエネルギーを評価する。
• 自由エネルギーの勾配ベース最適化を分析し、勾配推定の計算量境界を提示する。
• トロッター近似付き断熱状態準備を Ansatz として用い、五量子ビットのハミルトニアンで実現可能性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近年のデバイスで、変分アプローチは量子シミュレーションおよびボルツマン機械学習のような学習に適したギブズ状態を効率的に準備できるだろうか？
• RQ2 自由エネルギーのフォン・ノイマンエントロピー項を、全状態トモグラフィなしで効率的に推定するにはどうすればよいか？
• RQ3 この枠組みにおけるエントロピーおよびエネルギー推定のリソース（クエリ、ゲート）の影響は何か？
• RQ4 提案手法は高温のギブズ状態にも有効か、合理的な仮定の下での収束保証は何か？
• RQ5 小規模な量子系におけるトロッター化した断熱状態準備など、現実的な Ansatz での手法の性能はどうか？

主な発見

• エントロピーは、ρに関するユニタリ進化の迹の有限フーリエ級数として近似できる。
• エントロピー推定コストは U_ρ クエリの観点で Õ(1/(ε p_min^2))にスケールし、好適な p_min の下で近年のデバイスに対して実現可能である。
• H がユニタリの線形結合である場合、エネルギーは効率的に推定でき、クエリ複雑度は Õ(∥α∥_1/ε) である。
• 全体の枠組みは、固定ハミルトニアンに対して熱状態の純化を標的とするハイブリッド量子古典的変分アルゴリズムを生み出す。
• 数値的検討は、トロッター化された断熱状態準備 Ansatz を用いた五量子ビットのハミルトニアンで実現性を示している。
• 勾配評価の計算量境界は、滑らかさと（疑似）強凸性仮定の下で実現可能な最適化を示す。）