[論文レビュー] A variational representation of weak solutions for the pressureless Euler-Poisson equations

Eitan Tadmor, Dongming Wei|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元圧力のないEuler-Poisson方程式のグローバル弱解を明示的に構成する変分公式を提示する。これは、Lax-Oleinik公式を放物型特徴線へ拡張したものであり、初期粒子位置に関する2次形式の最小化を用いて、吸引的（$\kappa<0$）および反発的（$\kappa>0$）の両状態で解を導出する。$\kappa \leq 0$ではスティッキー粒子解が回復され、$\kappa > 0$では別個の解が得られる。さらに、次元削減を用いて球対称な多次元系へ拡張される。

ABSTRACT

We derive an explicit formula for global weak solutions of the one dimensional system of pressure-less Euler-Poisson equations. Our variational formulation is an extension of the well-known formula for entropy solutions of the scalar inviscid Burgers' equation: since the characteristics of the Euler-Poisson equations are parabolas, the representation of their weak solution takes the form of a "quadratic" version of the celebrated Lax-Oleinik variational formula. Three cases are considered. (i) The variational formula recovers the "sticky particle" solution in the attractive case; (ii) It represents a repulsive solution which is different than the one obtained by the sticky particle construction; and (iii) the result is further extended to the multi-dimensional Euler-Poisson system with radial symmetry.

研究の動機と目的

• 圧力のない1次元Euler-Poisson系の弱解を、亜臨界領域を超えて明示的かつグローバルに表現すること。
• 粘性のないBurgers方程式の変分原理を、ポissonポテンシャルにより特徴線が放物型となるEuler-Poisson系へ拡張すること。
• 吸引的（$\kappa<0$）および反発的（$\kappa>0$）の場合における解構造の違いを明らかにし、後者の場合にスティッキー粒子モデルとは根本的に異なる挙動を示すことを示すこと。
• 1次元の変分解法を球対称性を有する多次元Euler-Poisson系へ一般化すること。

提案手法

• 解は、初期密度 $\rho_0$、速度 $u_0$、電場 $E_0$ を含む重み付き2次作用 functional の最小化により導出される。
• 最小化子 $y(x,t)$ は、$\int_0^y Q_{x,t}(s)\rho_0(s)\,ds$ を最小化するすべての $y$ の上界として定義される。ここで $Q_{x,t}(s) = s + t u_0(s) + \frac{1}{2}\kappa E_0(s) t^2 - x$ である。
• 弱解は $\rho(x,t) = \partial_x R(x,t)$、$\rho u(x,t) = \partial_x M(x,t)$ により再構成され、ここで $R(x,t) = \int_0^{y(x,t)} \rho_0(s)\,ds$ および $M(x,t) = \int_0^{y(x,t)} \big(u_0(s) + \kappa E_0(s)t\big)\rho_0(s)\,ds$ である。
• 多次元の場合で球対称性を仮定する場合、系は径方向変数 $r$ における1次元問題に還元され、変換された変数 $\varsigma(r,t) = r^{n-1}\rho(r,t)$ と $w(r,t)$（速度）が導入される。
• 電場は対称的に $E(r,t) = \frac{1}{2}\big(\int_0^{r-} \varsigma(s,t)\,ds + \int_0^{r+} \varsigma(s,t)\,ds\big)$ と定義され、対称性が保たれ、原点が固定されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元圧力のないEuler-Poisson系の弱解に対して、グローバルな変分公式を、亜臨界領域を超えて構築可能か？
• RQ2 Poissonポテンシャル（$\kappa \neq 0$）の存在が、粘性のないBurgers方程式と比較して特徴線構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 $\kappa > 0$（反発的）の場合の変分解が、スティッキー粒子解と一致するか、それとも根本的に異なるか？
• RQ4 1次元の変分法を、球対称性を有する多次元系へ拡張可能か？

主な発見

• 変分公式は、すべての $\kappa \in \mathbb{R}$ に対して1次元圧力のないEuler-Poisson系のグローバル弱解を明示的に構成可能である。
• $\kappa \leq 0$ の場合、解はスティッキー粒子モデルと一致し、衝突時に粒子が合体し、その後もくっついたままになる。
• $\kappa > 0$ の場合、解はスティッキー粒子モデルとは根本的に異なり、反発力が永久的な合体を防ぐことを示している。
• 球対称性を仮定した多次元Euler-Poisson系に対しても、径方向座標における1次元問題に還元することで、この方法を一般化可能である。
• 物理的力学が保存されるように、電場に定数項のシフトが生じるが、解はガリレオ変換に対して不変である。