[論文レビュー] A Variety Containing EMV-Algebras and Pierce Sheaves

Anatolij Dvurečenskij, Omid Zahiri|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2019

Advanced Algebra and Logic被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、EMV代数に導出された二項演算 ⊖ を追加することで拡張される新しい代数の族、wEMV代数を導入する。これにより、非多様体クラスであるEMV代数を含む多様体が得られる。主な貢献は、すべての関連するwEMV代数を含む最小の部分多様体がwEMV代数であることを証明し、上に最大元を持たない正則なEMV代数に対してピアース層表現を確立することである。

ABSTRACT

According to \cite{Dvz}, we know that the class of all EMV-algebras, $\mathsf{EMV}$, is not a variety, since it is not closed under the subalgebra operator. The main aim of this work is to find the least variety containing $\mathsf{EMV}$. For this reason, we introduced the variety $\mathsf{wEMV}$ of wEMV-algebras of type $(2,2,2,2,0)$ induced by some identities. We show that, adding a derived binary operation $\ominus$ to each EMV-algebra $(M;\vee,\wedge,\oplus,0)$, we extend its language, so that $(M;\vee,\wedge,\oplus,\ominus,0)$, called an associated wEMV-algebra, belongs to $\mathsf{wEMV}$. Then using the congruence relations induced by the prime ideals of a wEMV-algebra, we prove that each wEMV-algebra can be embedded into an associated wEMV-algebra. We show that $\mathsf{wEMV}$ is the least subvariety of the variety of wEMV-algebras containing $\mathsf{EMV}$. Finally, we study Pierce sheaves of proper EMV-algebras.

研究の動機と目的

• EMV代数が部分代数に関して閉じていないため、多様体を形成しないという問題に対処する。
• 部分代数の形成に関して閉じていないクラスであるEMV代数を含む最小の多様体を見つける。
• EMV代数の言語を拡張し、導出された二項演算 ⊖ を追加することでwEMV代数を構成する。
• 任意のwEMV代数が、最大元を持つ関連するwEMV代数に埋め込めるのを証明する。
• 素イデアルと同値関係を用いて、上に最大元を持たない正則なEMV代数（上に最大元を持たないもの）に対してピアース層表現を開発する。

提案手法

• 恒等式の集合によって定義される型 (2,2,2,2,0) のwEMV代数を導入し、多様体を形成する。
• 各EMV代数の言語に導出された二項演算 ⊖ を追加することで、関連するwEMV代数を構成する。
• 素イデアルと誘導される同値関係を用いて、任意のwEMV代数を関連するwEMV代数に埋め込む。
• 埋め込み定理を用いて、wEMV多様体がすべての関連するwEMV代数を含む最小の部分多様体であることを証明する。
• 正則なEMV代数Mに対して、素イデアルの空間X = P(I(M)) を用いてピアース層 (E, π, X) を構成する。
• 層構造が演算 (∨, ∧, ⊕) の連続性を保証し、全局的セクションがMに同型なEMV代数を形成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 EMV代数が部分代数に関して閉じていないため、多様体を形成しないことを踏まえ、EMV代数のクラスを含む最小の多様体は何か？
• RQ2 EMV代数に導出された二項演算 ⊖ をどのように追加することで、それらを含む多様体を構成できるか？
• RQ3 任意のwEMV代数は、最大元を持つ関連するwEMV代数に埋め込めるか？
• RQ4 素イデアルを用いた層論的表現は、上に最大元を持たない正則なEMV代数（上に最大元を持たないもの）に対して存在するか？
• RQ5 半単純またはストーンEMV代数は、有界なEMV代数の層に埋め込める条件は何か？

主な発見

• wEMV代数の多様体wEMVは、EMV代数から導かれるすべての関連wEMV代数を含むwEMV代数の最小部分多様体である。
• 任意のwEMV代数は、最大元を持つ関連wEMV代数に埋め込まれ、その中で最大イデアルとして現れる。
• 各wEMV代数は、最大の関連wEMV部分代数と厳密なwEMV部分代数の直積に同型である。
• wEMV代数の部分多様体のクラスは可算無限個であり、それらはその恒等式基底によって完全に特徴づけられる。
• 上に最大元を持たない正則なEMV代数（上に最大元を持たないもの）は、MV鎖をステークとするハウスドルフブール層であるピアース層表現を持つ。
• すべてのストーンEMV代数は、MV鎖をステークとするハウスドルフブール層の全局的セクションのMV代数に埋め込める。