[論文レビュー] A varifold perspective on the $p$-elastic energy of planar sets

Marco Pozzetta|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、平面上の集合の $p$-自己エネルギーを定義・分析するための変分形式枠組みを導入し、自己交差や角を持つような滑らでない境界に対しても有限エネルギーを可能にする。境界の曲率を表す変分形式を用いて集合を特徴付け、内在的な $L^1$-緩和化を確立することで、滑らでない境界を持つ集合に対しても古典的なエネルギー定義を拡張し、最小化子の存在を証明するとともに、非可積分境界部の $\mathcal{H}^1$-測度が正である有限エネルギー集合の例を提示する。

ABSTRACT

Under suitable regularity assumptions the $p$-elastic energy of a planar set $E\subset\mathbb{R}^2$ is defined to be $\int_{\partial E} 1 + |k_{\partial E}|^p \,\, d\mathcal{H}^1,$ where $k_{\partial E}$ is the curvature of the boundary $\partial E$. In this work we use a varifold approach to investigate this energy, that can be well defined on varifolds with curvature. First we show new tools for the study of 1-dimensional curvature varifolds, such as existence and uniform bounds on the density of varifolds with finite elastic energy. Then we characterize a new notion of $L^1$-relaxation of this energy by extending the definition of regular sets by an intrinsic varifold perspective, also comparing this relaxation with the classical ones. Finally we discuss an application to the inpainting problem, examples and qualitative properties of sets with finite relaxed energy.

研究の動機と目的

• 滑らでない境界を持つ平面上の集合に対して、パrametrizationに依存しない新しい内在的正則性の概念を定義すること。
• 滑らでないまたは非一対一の境界を持つ集合に対し、古典的な $L^1$-緩和化を拡張すること。
• 曲率変分形式を用いて緩和エネルギーを特徴付け、変分形式の密度に関する存在性と一様なバインディングを確立すること。
• 本稿の緩和化が [BeMu04, BeMu07] における古典的緩和化と比較して、非正則な集合のエネルギーをよりよく捉えられることを示すこと。
• インpainting問題への応用を含め、滑らでない境界部や非可積分境界部を有する集合に対し、有限な緩和エネルギーを持つ例を構成すること。

提案手法

• 集合の有界境界を持つ場合の $p$-自己エネルギー $\mathcal{F}_p(E)$ を、曲率変分形式 $V_E = \mathbf{v}(\mathcal{F}E, 1)$ を用いて定義する。ここで $\mathcal{F}E$ は有界境界の減少境界を表す。
• 滑らかでない曲線に対してもエネルギー計算が可能な整数可積分変分形式（elastic varifolds）を定義する。$C^2$ 稠密写像 $\gamma_i: S^1 \to \mathbb{R}^2$ を用い、$V = \sum_{i=1}^N (\gamma_i)_{\sharp}(\mathbf{v}(S^1,1))$ と表す。
• 幾何測度論の道具を用いて、有限自己エネルギーを持つ変分形式の密度に関する存在性と一様バインディングを確立する。
• 滑らかな集合の近似列に依存しない、変分形式による $\mathcal{F}_p$ の $L^1$-緩和化を内在的に定義する。
• 滑らかな集合に対しては、本稿の緩和化が [BeMu04, BeMu07] の古典的緩和化と一致することを証明するが、自己交差や角を持つような非滑らかな集合への拡張も可能である。
• 最小化移動法と変分形式収束を用いて、広範なクラスの平面上の集合に対して $p$-自己エネルギーの一般化された勾配流を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らでないまたは自己交差を有する境界を持つ平面上の集合に対して、内在的な幾何的枠組みを用いて $p$-自己エネルギーを意味的に定義できるか？
• RQ2 古典的緩和化が無限大をとる集合に対して、$L^1$-緩和化の $p$-自己エネルギーはどのように振る舞うか？
• RQ3 曲率変分形式は、古典的な $C^2$ 境界を越えて、有限エネルギー集合を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 新しい緩和化枠組みは、非可積分境界部の $\mathcal{H}^1$-測度が正である集合のエネルギーを捉えることができるか？
• RQ5 特にインpaintingや幾何的発展の文脈において、有限な緩和 $p$-自己エネルギーを持つ集合の定性的性質は何か？

主な発見

• 本稿では、自己交差や非一対一の境界を持つ集合（例えば図1の例）が、新しい変分形式に基づく定義のもとで有限の $p$-自己エネルギーを持つことが示された。
• 有限 $p$-自己エネルギーを持つ変分形式に対して、一様な密度バインディングが存在することを証明し、コンパクト性と下半連続性を保証した。
• $\mathcal{F}_p$ の $L^1$-緩和化は変分形式を用いて内在的に特徴付けられ、滑らかな集合に対しては古典的緩和化と一致することが示された。
• 例として、$\overline{\mathcal{F}_p}(E) < \infty$ であるが $\mathcal{H}^1(\partial E \setminus \mathcal{F}E) > 0$ であるような集合が構成され、この枠組みの頑健性が示された。
• $C^\infty$ 稠密写像によって境界がパラメトライズされるが $\mathcal{H}^1(\partial E \setminus \mathcal{F}E) > 0$ であるような集合 $E$ に対して、$\overline{\mathcal{F}_p}(E) < \infty$ である例が構成され、緩和化が非可積分部分を捉えられることを示した。
• この枠組みにより、最小化移動法と変分形式収束を用いて、広範な非滑らかな集合のクラスにわたる $p$-自己エネルギーの一般化された勾配流を定義可能となった。