[論文レビュー] A Verified Algorithm for Deciding Pattern Completeness

Cynthia Kop, Yamada, Akihisa|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Semantic Web and Ontologies参考文献 2被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、論理制約付き項書き換え系（LCTRSs）における準再帰性を検証する、整合的で効率的なアルゴリズムを提示している。このアルゴリズムにより、パターンマッチの欠落によって評価が止まることを回避できる。左線形性、コンストラクタ健全性、左値自由性の仮定の下で、すべての可能なコンストラクタパターンがカバーされているかをチェックすることで、ルールの完全性を検証する。主な結果として、ルールパターンの構文的チェックによって準再帰性を確認する決定手続きが得られる。

ABSTRACT

Pattern completeness is the property that the left-hand sides of a functional program cover all cases w.r.t. pattern matching. In the context of term rewriting a related notion is quasi-reducibility, a prerequisite if one wants to perform ground confluence proofs by rewriting induction. In order to certify such confluence proofs, we develop a novel algorithm that decides pattern completeness and that can be used to ensure quasi-reducibility. One of the advantages of the proposed algorithm is its simple structure: it is similar to that of a regular matching algorithm and, unlike an existing decision procedure for quasi-reducibility, it avoids enumerating all terms up to a given depth. Despite the simple structure, proving the correctness of the algorithm is not immediate. Therefore we formalize the algorithm and verify its correctness using the proof assistant Isabelle/HOL. To this end, we not only verify some auxiliary algorithms, but also design an Isabelle library on sorted term rewriting. Moreover, we export the verified code in Haskell and experimentally evaluate its performance. We observe that our algorithm significantly outperforms existing algorithms, even including the pattern completeness check of the GHC Haskell compiler.

研究の動機と目的

• LCTRSにおける不完全なパターンマッチによる評価の停止問題を解決すること。
• LCTRSにおける準再帰性の決定手続きを形式化および検証すること。
• すべてのコンストラクタパターンがルールによってカバーされることを保証する、実装可能な実用的手法を提供すること。
• 左線形性、コンストラクタ健全性、左値自由性という、アルゴリズムが整合的かつ効果的であるための条件を確立すること。

提案手法

• アルゴリズムは、すべてのルールの左辺とその関連する制約を分析することで、パターン完全性をチェックする。
• 与えられたパターンと制約の集合が、すべての可能なコンストラクタ項入力をカバーできるかどうかを判定する述語 OK(−→x, A, b) を定義する。
• 引数の数と型の構造的帰納法に基づき、現在の引数が値かどうか、項かどうか、または両方の選択肢かによって場合分けを行う。
• 変数の安全な代入と変数キャプチャの回避のため、左線形性の仮定に依存する。
• すべての定義済みまたは計算記号 f に対して、f のパターン集合 Af が OK((), Af, either) を満たすかをチェックする。これにより、すべてのコンストラクタ入力がカバーされることを保証する。
• この手法の核となるのは、制約を伝搬させながら再帰的にカバレッジをチェックし、すべての可能なコンストラクタ項入力が何らかのルールによってマッチ可能であることを検証する点である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LCTRSにおいて、コンストラクタ項以外に地面で再帰不能な項が存在しないことを自動的に検証できるか？
• RQ2 どのような条件下で、構文的パターンカバレッジによって準再帰性を決定できるか？
• RQ3 LCTRSのルールパターンにおける欠落ケースを検出する整合的で効率的なアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 左線形性、左値自由性、コンストラクタ健全性を満たすクラスに対して、このアルゴリズムは完全であると見なせるか？

主な発見

• アルゴリズムは整合的である：すべての記号 f に対して OK((), Af, either) が成り立つならば、LCTRSは準再帰的である。
• この手法は Ctrl ツールに完全に実装されており、実用的応用の有効性が示されている。
• アルゴリズムは、左線形性、コンストラクタ健全性、左値自由性という3つの構造的制約に依存して正しさを保証している。
• 論文では、この手法が左線形性、左値自由性、コンストラクタ健全性を満たすクラスにおいても完全であると予想しているが、ここでは完全性は証明されていない。
• アルゴリズムは、ルールの左辺の構造とその制約を分析することで、パターンの欠落を効果的に検出できる。
• パターン完全性の検証は、高価なモデル検査や証明探索を避けるために、ルールパターンに対する構文的チェックに還元される。