[論文レビュー] A version of Szemerédi's regularity lemma for multicolored graphs and directed graphs that is suitable for induced graphs

Maria Axenovich, Ryan R. Martin|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多重色付きグラフおよび有向グラフへSzemerédiの正則性補題を拡張し、誘導部分グラフ埋め込みをサポートする色付きおよび有向版の正則性補題を導入する。密度構造がグラフの色またはエッジ分布と一致しない限り、ランダムな色付きおよび有向グラフは、固定された遺伝的性質から通常は遠く離れていることを示す。密度構造に基づく正則性、局所化、編集距離を用いた、稠密な遺伝的性質の分析フレームワークを確立する。

ABSTRACT

In this manuscript we develop a version of Szemerédi's regularity lemma that is suitable for analyzing multicolorings of complete graphs and directed graphs. In this, we follow the proof of Alon, Fischer, Krivelevich and M. Szegedy [Combinatorica, 20(4) (2000), 451--476] who prove a similar result for graphs. The purpose is to extend classical results on dense hereditary properties, such as the speed of the property or edit distance, to the above-mentioned combinatorial objects.

研究の動機と目的

• 誘導部分グラフ埋め込みをサポートする、多重色付きおよび有向グラフに適したSzemerédiの正則性補題のバージョンを開発すること。
• 密度的な遺伝的性質に関する古典的結果（例えば、スピーどや編集距離）を、多重色付きおよび有向グラフへ拡張すること。
• 色付きおよび有向設定における局所化およびクラスタリング技術を可能にする正則性フレームワークを提供すること。
• 密度に基づく正則性と確率的バウンドを用いて、ランダムグラフと遺伝的性質との間の編集距離を分析すること。
• ランダムグラフから遺伝的性質への編集距離が、通常はその性質の密度構造によって決定される期待最小距離に非常に近いことを証明すること。

提案手法

• Alonら（2000）のグラフに対する証明戦略を、誘導部分グラフと洗練された等分割を用いて、多重色付きおよび有向グラフへ適応する。
• 各色またはエッジの向きにおける密度の正則性を保証する色付き正則性条件を定義し、誤差バウンドをパrameter γで制御する。
• 密度が十分に大きい場合に、部分集合への制限においても正則性を保つ、色付きおよび有向グラフのスライシング補題を導入する。
• 目標グラフ H の誘導コピーを、一貫した色または向きの密度を持つミニクラスタを選択することで、正則化された構造に埋め込むための埋め込み補題を適用する。
• Chernoffバウンドを用いて、ランダムグラフにおけるクラスタ密度が期待値から逸脱する確率を推定し、期待値の周辺に濃縮されることを保証する。
• 正則クラスタ内での色または向きのペアが一致しない場合の編集距離を、ε と k で制御された誤差項を含めて合算することで、ランダムグラフと遺伝的性質との間の編集距離をバウンドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導部分グラフ埋め込みと遺伝的性質の解析をサポートする、多重色付きグラフ用の正則性補題を定式化できるか？
• RQ2 正則性フレームワークをどのように有向グラフへ拡張し、誘導部分グラフと編集距離を分析できるか？
• RQ3 ランダムな多重色付きまたは有向グラフと固定された遺伝的性質との間の典型的な編集距離は何か？
• RQ4 与えられた色付けまたは向き付けモデル下で、正則分割におけるクラスタ密度は、ランダムグラフにおける期待密度とどのように関係するか？
• RQ5 ランダムグラフから遺伝的性質への編集距離が、その性質の密度構造によって決定される特定の値の周辺に濃縮される条件は何か？

主な発見

• 本稿は、多重色付きおよび有向グラフにおける誘導部分グラフ埋め込みをサポートする、Szemerédiの正則性補題の色付きおよび有向版を構築した。
• 任意の遺伝的性質 H に対して、ランダムグラフ G_n,p から H への編集距離は、漸近的にほとんど確実に f_K(p) * binom(n,2) - o(n²) 以上であることを証明した。ここで f_K(p) は最小禁止部分構造の密度である。
• 編集距離の誤差項は O(rεn²) であり、ε が小さいとき、距離が期待最小値にきわめて集中していることを示している。
• スライシングおよび埋め込み補題により、一貫した色または向きの密度を持つ正則クラスタを用いて、目標グラフ H を誘導部分グラフとして埋め込むことができる。
• Chernoffバウンドによる確率的濃縮により、ランダムグラフにおけるクラスタ密度は高確率で期待値に近く、正則性に基づく分析が堅牢に可能になる。
• このフレームワークにより、編集距離問題を正則クラスタに局所化でき、禁止部分構造の構造に関する有限次元の密度最適化問題に、グローバル問題を還元できる。