[論文レビュー] A version of the proof for Peres-Schlag's theorem on lacunary sequences

Nikolay Moshchevitin|ArXiv.org|Aug 15, 2007

advanced mathematical theories被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、PeresとSchlagのディオファントス近似に関する定理を、ギャップをもつ数列を用いて多次元に拡張したものであり、確率的用語を避ける測度論的アプローチを用いて、任意の $ j $ に対して $ \max_{1\leq k\leq d} \|\alpha_k t_j\| \geq \frac{1}{2^{11}(M\log M)^{1/d}} $ を満たす実数ベクトル $ \alpha \in \mathbb{R}^d $ の存在を証明している。この結果は直交変換へ一般化され、複素乗法数列に対しても応用されている。

ABSTRACT

We present a proof of a multidimensional version of Peres-Schlag's theorem on Diophantine approximations with lacunary sequences.

研究の動機と目的

• ギャップをもつ数列に関するPeresとSchlagの結果を高次元に拡張すること。
• ギャップをもつ数列から得られる有理近似による実数の同時近似に対する有効な下界を確立すること。
• Lovászの局所補題を用いるのではなく、測度論的議論を用いて確率的言語を避ける証明を提供すること。
• 結果を直交変換へ一般化すること。
• $ \theta^j\alpha $ が複素平面上のガウス整数からどれほど離れているかの有効な定量的評価を導出すること。

提案手法

• 各 $ j $ と $ \mathbf{a} $ に対して、$ a/t_j $ の周りの長さ $ \delta/t_j $ の区間を用いて、近似集合 $ E(j,\mathbf{a}) $ のdyadic被覆を定義する。ここで $ \delta = \frac{1}{2^{11}(M\log M)^{1/d}} $ である。
• 長さ $ 2^{-l_j} $ のdyadicボックスの和集合として、$ A_j \supseteq \bigcup_{\mathbf{a}} E(j,\mathbf{a}) \cap [0,1]^d $ を構成する。ここで $ l_j = \lfloor \log_2(t_j/(2\delta)) \rfloor $ である。
• 測度推定を用いて $ \mu(A_j) \leq (16\delta)^d $ を示し、$ \delta_1 = 2^{4d+1}\delta^d $、$ h = \lceil 2^{3d}M\log M \rceil $ を定義する。
• 鍵となる測度の減少補題を証明する：$ \mu(A_{i+h} \cap \bigcap_{j\leq i} A_j^c) \leq \delta_1 \mu(\bigcap_{j\leq i} A_j^c) $。これは $ t_{j+1}/t_j \geq 1 + 1/M $ というギャップ条件に依存する。
• 測度の交差集合 $ \bigcap_{j\leq i} A_j^c $ の下界を帰納的に示し、$ h $ ステップ前にその値の半分以上を保つことを示す。
• 直交変換への一般化のために、$ E'(j,\mathbf{a}) = S_j^{-1}E(j,\mathbf{a}) $ を定義し、回転に起因する歪みを補正するパrameterを調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PeresとSchlagの1次元におけるギャップをもつ数列に関する結果を、$ \mathbb{R}^d $ における同時ディオファントス近似に拡張できるか。
• RQ2 固定されたギャップをもつ数列 $ \{t_j\} $ に対して、すべての $ j $ に対して $ \max_k \|\alpha_k t_j\| $ の有効な下界はどのように得られるか。
• RQ3 直交変換 $ S_j $ の存在が近似の質に与える影響は何か。また、一様な下界を達成できるか。
• RQ4 複素乗法数列 $ \theta^j $（$ |\theta| > 1 $）に対しても、結果を拡張できるか。ガウス整数からどれほど離れているかの下界は、スレートノルムで得られるか。
• RQ5 下界における最適定数は何か。また、$ d $、$ M $、$ \log M $ に対してどのようにスケーリングされるか。

主な発見

• 本稿では、比が $ \geq 1 + 1/M $ である任意のギャップをもつ数列 $ \{t_j\} $ に対して、すべての $ j $ に対して $ \max_k \|\alpha_k t_j\| \geq \frac{1}{2^{11}(M\log M)^{1/d}} $ を満たす $ \alpha \in \mathbb{R}^d $ が存在することを示している。
• この下界は有効的かつ構成的であり、全測度の入れ子集合への測度論的帰納法によって、このような $ \alpha $ の存在が証明されている。
• 直交変換 $ S_j $ の場合、下界は $ \|G_j\alpha\| \geq \frac{1}{2^{13}d(M\log M)^{1/d}} $（$ G_j = t_j S_j $）に一般化され、回転に対して安定であることが示された。
• 系として、$ |\theta| > 1 $ である複素数列 $ \theta^j $ に対しても、ガウス整数からの距離の下界が、スレートノルムで得られる。
• Lovászの局所補題を避けるために、dyadic被覆と測度の減少推定を用いた測度論的帰納法により、確率的用語を一切使用しない証明がなされている。
• 下界に現れる定数は明示的であり、改善可能であるが、現在の形ではすべての $ j $ に対して必要なディオファントス条件を満たす $ \alpha $ の存在が一様に保証されている。