[論文レビュー] A very accurate method to approximate discontinuous functions with a finite number of discontinuities

Eduardo Stella, Celso L. Ladera+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限個の不連続性を持つ関数を、有理数を引数とする双曲正接関数を滑らかな接続関数として用いることで、高精度で解析的に近似する手法を提示する。この手法はギブス現象を回避し、不連続点付近でも相対誤差が10⁻¹⁴にまで低下する。区分関数から得られる係数を求めるために線形方程式系を解くことで、ジャンプ点における高精度な収束性を実現する。

ABSTRACT

A simple and very accurate method to approximate a function with a finite number of discontinuities is presented. This method relies on hyperbolic tangent functions of rational arguments as connecting functions at the discontinuities, each argument being the reciprocal of Newton binomials that depend on the abscissae that define the domain of the discontinuous function and upon the abscissae of discontinuities. Our approximants take the form of linear combinations of such hyperbolic tangent functions with coefficients that are obtained by solving a linear system of inhomogeneous equations whose righthand sides are the partition functions that define the given discontinuous function. These approximants are analytic, and being free from the Gibbs phenomenon certainly converge at the discontinuity points much better than other known approximants to discontinuous functions, typical relative errors being of the order of 10-14 even when as close as 10-12 to the discontinuity points. Moreover, they can be readily scaled to larger intervals. Our method is here illustrated with a representative set of discontinuous mathematical physics functions, and by studying the dynamics of an oscillator subjected to a discontinuous force, but it can be applied to important cases of discontinuous functions in physics, mathematics, engineering and physical chemistry.

研究の動機と目的

• 有限個のジャンプ不連続性を持つ関数を高精度に近似する手法を開発すること。
• 従来のフーリエに基づく近似で生じるギブス現象を回避すること。
• 不連続点で信頼性高く収束する解析的近似式を提供すること。
• 精度を損なわずにより大きな区間におけるスケーラブルな近似を可能にすること。
• 物理学、工学、数学的モデリングに応用可能な実用的で数値的に安定した手法を提供すること。

提案手法

• 本手法は、ニュートンの二項係数から導かれる有理数を引数とする双曲正接関数の線形結合として近似式を構築する。
• 各双曲正接関数は不連続点を中心に配置され、定義域の境界と不連続点の位置に応じたニュートンの二項係数の逆数によって変調される。
• 線形結合における係数は、不連続関数を定義する区分関数によって与えられる非同次線形方程式系を解くことで決定される。
• 得られる近似式は、不連続点を含む全域で解析的かつ滑らかである。
• 不連続点に10⁻¹²の距離で近づいても、高い精度で収束を保証する。
• この定式化により、精度を損なわずにより大きな区間へのスケーリングが容易に可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限のジャンプを持つ不連続関数に対して、不連続点で正確に収束する滑らかで解析的な近似が構築可能か？
• RQ2 ジャンプ不連続性を持つ関数を近似する際、ギブス現象をどのように回避できるか？
• RQ3 どの関数的形とパrameterizationが、不連続点付近でも高精度な近似をもたらすか？
• RQ4 本手法は複数の不連続点を持つ関数に一般化可能で、より大きな定義域にスケーリング可能か？
• RQ5 不連続点に近づいた際、相対誤差はどの程度の精度に達するか？

主な発見

• 不連続点に10⁻¹²の距離で近づいても、相対誤差が10⁻¹⁴にまで低下するなど、極めて高い数値的精度を示す。
• 近似式は解析的であり、不連続点で収束するが、従来のフーリエ級数とは異なりギブス現象を示さない。
• 有理数を引数とする双曲正接関数の使用により、ジャンプ部での滑らかな遷移が実現されつつ、高精度を維持する。
• 係数決定のための線形方程式系は、良好に条件付けられており、数値的に安定しており、信頼性の高い計算を可能にする。
• 本手法はスケーラブルであり、物理学、工学、物理化学分野における不連続的挙動を示す関数に応用可能である。
• 不連続力が作用する振動子を含む具体的な例題により、動的系における本手法の頑健性と高精度が確認された。