[論文レビュー] A Virtual Element Method for elastic and inelastic problems on polytope meshes

L. Beirão da Veiga, Carlo Lovadina+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、一般の多面体メッシュ上で非線形弾性および非弾性問題に適用可能な仮想要素法（VEM）を提案する。低次の変位近似と安定化された勾配再構成を用い、各要素に対して構成則を一度だけ適用する。本手法は計算効率を確保し、任意の多角形・多面体要素を扱えるとともに、標準的なブラックボックス構成則モデルを統合可能であり、非線形弾性および加工硬化を伴うvon Mises塑性理論における2次元数値実験で最適収束を示した。

ABSTRACT

We present a Virtual Element Method (VEM) for possibly nonlinear elastic and inelastic problems, mainly focusing on a small deformation regime. The numerical scheme is based on a low-order approximation of the displacement field, as well as a suitable treatment of the displacement gradient. The proposed method allows for general polygonal and polyhedral meshes, it is efficient in terms of number of applications of the constitutive law, and it can make use of any standard black-box constitutive law algorithm. Some theoretical results have been developed for the elastic case. Several numerical results within the 2D setting are presented, and a brief discussion on the extension to large deformation problems is included.

研究の動機と目的

• 小変形領域における非線形弾性および非弾性問題に適した仮想要素法（VEM）の開発。
• 明示的な基底関数の構築を必要としない一般の多角形および多面体メッシュの使用を可能にすること。
• 要素ごとの構成則評価回数を最小限に抑え、1点ガウス求積と同等の計算効率を達成すること。
• 商業的FEMソフトウェアで使用されるような標準的なブラックボックス構成アルゴリズムとのシームレスな統合を可能にすること。
• 構成則の安定性および連続性の仮定の下で、弾性ケースにおける理論的収束の確立。

提案手法

• 各多面体要素において、変位場の低次の多項式近似を採用する。
• 基底関数の明示的評価を回避するため、局所的な射影に基づく変位勾配の再構成を導入し、ひずみを計算する。
• 線形問題に対する標準的なVEMアプローチに従い、ロックインや時計回りモードを制御するための安定化項を変分形式に追加する。
• 要素ごとに自由度と射影勾配のみを用いて弱形式を構築し、一貫性および安定性を確保する。
• 各反復処理において、再構成された勾配を用いて構成則を要素ごとに一度だけ適用する。これにより、既存の工学ソフトウェアとの統合が可能になる。
• 大変形問題への拡張は、物質記述および第一ピョーリ・キルヒホフ応力テンソルを用いて行われたが、まだ予備的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想要素法は、一般の構成則を有する多面体メッシュ上での非線形弾性問題に効果的に拡張可能か？
• RQ2 VEMは、要素ごとに構成則を一度だけ適用できるようにどのように構造化できるか？計算効率を確保する。
• RQ3 提案されたVEMスキームは、標準的な安定性および連続性の仮定の下で、非線形弾性問題に対して最適収束率を達成するか？
• RQ4 VEMフレームワークは、有限要素ソフトウェアで一般的に使用される標準的なブラックボックス構成モデルを自然に統合できるか？
• RQ5 不規則な多角形メッシュ上でのvon Mises塑性理論（等方硬化を伴う）において、VEMの性能はいかがなものか？

主な発見

• 構成則の連続性および安定性の仮定の下で、非線形弾性問題において最適収束率を達成した。
• 三角形、四角形、六角形のボロノイメッシュを用いた2次元数値結果では、メッシュの細分化に伴い参照解に収束し、点P = (1,1)におけるx方向の変位が1.1018 mに近づくことが確認された。
• 加工硬化を伴うvon Mises塑性問題では、非線形応答を的確に捉え、メッシュ収束を示した。計算された変位は参照解に安定して収束した。
• メッシュの歪みや要素種別に対してロバストであることが、三角形、四角形、ボロノイメッシュのあらゆるケースで一貫した収束を示すことで裏付けられた。
• 異なるメッシュタイプ（三角形、正方形、六角形）からの変形形状は視覚的に妥当であり、類似した状態に収束しており、優れた幾何的柔軟性を示している。
• ネオ・フック型超弾性モデルを用いた大変形問題への予備的拡張は、物質記述および第一ピョーリ・キルヒホフ応力形式への適応可能性を示しており、実現可能性が確認された。