[論文レビュー] A Virtual Finite Element Method for Two Dimensional Maxwell Interface Problems with a Background Unfitted Mesh

Shuhao Cao, Long Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 51被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、非構造的でバックグラウンドに依存する適合しないメッシュ上で2次元マクスウェル界面問題を解くための新しい仮想要素法（VEM）を提示する。最大角条件を満たす仮想三角形分割上の新しいH(curl)-適合仮想空間を導入することで、界面近傍におけるメッシュの非等方的特性に依存しない1次最適収束性を達成し、低正則性および非適合離散化に起因する課題を克服する。

ABSTRACT

A virtual element method (VEM) with the first order optimal convergence order is developed for solving two-dimensional Maxwell interface problems on a special class of polygonal meshes that are cut by the interface from a background unfitted mesh. A novel virtual space is introduced on a virtual triangulation of the polygonal mesh satisfying a maximum angle condition, which shares exactly the same degrees of freedom as the usual H(curl)-conforming virtual space. This new virtual space serves as the key to prove that the optimal error bounds of the VEM are independent of high aspect ratio of the possible anisotropic polygonal mesh near the interface.

研究の動機と目的

• 界面をはさんで係数が不連続となる2次元マクスウェル界面問題を効果的に解くための堅牢な数値法の開発。
• 界面近傍で著しく非等方的になる可能性のある非構造的で適合しない多角形メッシュ上でも最適収束性を達成する課題への対処。
• 要素形状の歪みに対して頑健であると同時に、H(curl)-適合性と自由度を保持する仮想要素空間の構築。
• メッシュの非等方的特性や係数のジャンプに依存しない、事前誤差見積もりの確立。

提案手法

• 各多角形要素の仮想三角形分割上に、最大角条件を満たす標準Nédélec空間の部分空間として新しい仮想要素空間を構築する。
• この仮想空間は、標準のH(curl)-適合VEM空間と同じ自由度を持つため、既存のVEM定式化と整合性を保つ。
• 非適合近似を扱うために、対称な変分形式をH(curl)-楕円型界面問題に用い、安定化項を導入する。
• 境界項を制御し、頑健な誤差見積もりを達成するために、自由度によって定義される離散調和拡張を用いた新しい解析手法を採用する。
• 解析には、トレース不等式、Poincaré型推定式、および多角形要素の形状正則な部分三角形における近似性質に依存する。
• バックグラウンドの三角形メッシュが界面によって切断される円形界面問題に対して、数値的妥当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 仮想要素法は、非適合で非等方的多角形メッシュ上でも、マクスウェル界面問題に対して最適収束性を達成できるか？
• RQ2 要素形状の歪みに対して頑健である仮想空間において、H(curl)-適合性と自由度をどのように維持できるか？
• RQ3 メッシュの非等方的特性が、低正則性解を有する界面問題におけるVEMの収束速度に与える影響は何か？
• RQ4 新しい仮想空間構築により、界面要素のアスペクト比に依存しない誤差解析を可能にするか？

主な発見

• 提案されたVEMは、H(curl)ノルムにおいて1次最適収束性を達成し、数値実験によりL2誤差とcurl誤差の両方の収束率が約1.00であることが確認された。
• 界面要素が著しく非等方的であっても、収束率がすべてのメッシュ細分化において一貫していることから、同法が非等方的条件下でも最適収束性を維持することが示された。
• 誤差見積もりは多角形要素のアスペクト比に依存せず、これは非適合メッシュ法において重要な貢献である。
• 数値結果から、材料パrameter（α+ = 10または100、β+ = 10または100）の変化に対しても収束率が安定しており、同法の頑健性が裏付けられた。
• 事前誤差解析により、収束率が正確な解の正則性とメッシュサイズにのみ依存し、要素形状や非等方的特性に依存しないことが証明された。