[論文レビュー] A virtual fundamental class construction for the moduli space of torus equivariant morphisms

Andrei Mustaţǎ|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、GIT商とそのフリップに関連するDeligne-Mumfordスタックの逆極限を用いて、$({\mathbb{C}}^*)^n$-等化的写像のモジュライ空間に対する仮想基本類を構成する。この構成により、$\dim X - n$次元の Chow 群へのクラスが得られ、$X$ の等化的変形に関して不変であり、$n=1$ の場合に安定写像モジュライ空間との比較により既存の定義と一致する。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective variety with the action of the n dimensional torus. The article describes the moduli space of torus equivariant morphisms from stable toric varieties into X as the inverse limit of the GIT quotients of X and their flips when these spaces are enhanced with a naturally associated Deligne-Mumford stack structure. This description is used for constructing a class in the Chow group of the moduli space of dimension dim(X)-n which is invariant to equivariant deformations of X.

研究の動機と目的

• 安定トーリック多様体から滑らかで射影的な多様体 $X$ への $({\mathbb{C}}^*)^n$-等化的写像のモジュライ空間に対して、完全な障害理論が存在しない場合でも仮想基本類を定義すること。
• トーラス作用に関連するGIT商とそのフリップに付随するDeligne-Mumfordスタックの逆極限として、このモジュライ空間の幾何的実現を確立すること。
• $\dim X - n$ 次元のChow類を構成し、$X$ の等化的変形に関して不変であるようにし、函子性および既知のケースとの整合性を保証すること。
• 再帰的群作用への一般化を可能とする枠組みを提供し、Gromov-Witten不変量や安定写像モジュライ空間への応用を想定すること。

提案手法

• モジュライ空間は、$X$ とその $({\mathbb{C}}^*)^n$-作用に関するGIT商とそのフリップに付随するDeligne-Mumfordスタックの逆極限として実現される。
• 逆極限上の普遍族は、$X$ への genus-zero 安定写像のモジュライ空間を介して構成され、等化的写像と安定写像理論を結びつける。
• 相対的内在正規コーン $\mathcal{C}_Z$ が $h^1/h^0(R^f\pi_* e^*T_Z)$ に埋め込まれ、仮想クラスの構成を可能にする。
• 仮想クラスは、接バンドルの直接像の固定部を含む写像を介して、$[BT]$-スタックの逆極限から引き戻される。
• GIT商とそのフリップの部分カテゴリに対してタウトロジカルな環を定義し、命題5.2を用いて引き戻しと押し出し写像を確立する。
• 構成が $n=1$ の場合に標準的な仮想基本クラスと一致することを、定理6.3で確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な障害理論が存在しない場合でも、滑らかで射影的な多様体 $X$ への $({\mathbb{C}}^*)^n$-等化的写像のモジュライ空間に対して仮想基本クラスを構成できるか？
• RQ2 GIT商とそのフリップに付随するDeligne-Mumfordスタックの逆極限は、等化的写像のモジュライ空間とどのように関係しているか？
• RQ3 構成された仮想クラスは、$X$ の等化的変形に関して正しく変換されるか？また、$n=1$ の場合に安定写像モジュライ空間の仮想クラスと整合するか？
• RQ4 この枠組みは、トーラスを越えて再帰的群作用（例：$SL_{k+1}$）へ拡張可能か？その場合、安定写像モジュライ空間に与える影響は何か？
• RQ5 GIT商の逆極限におけるタウトロジカルな環の構造は何か？また、引き戻しと押し出しに関してどのように振る舞うか？

主な発見

• $({\mathbb{C}}^*)^n$-等化的写像のモジュライ空間は、自然なスタック構造に関して、GIT商とそのフリップに付随するDeligne-Mumfordスタックの逆極限と同型である。
• $\dim X - n$ 次元の仮想基本クラスがChow群に構成され、$X$ の等化的変形に関して不変である。
• $n=1$ の場合、仮想クラスは定理6.3で確認されたように、安定写像モジュライ空間からの標準的仮想基本クラスと一致する。
• 相対的内在正規コーン $\mathcal{C}_Z$ は $h^1/h^0(R^f\pi_* e^*T_Z)$ に埋め込まれ、仮想クラスが $\underleftarrow{\lim} [BT]$ の基本スタックから引き戻される。
• 逆極限上のタウトロジカルな環は、命題5.2で確立された引き戻しと押し出し写像を備え、注記5.5で計算のアルゴリズムが提示されている。
• この構成は、再帰的群作用（例：$SL_{k+1}$ が同次多項式空間に作用する場合）に対する安定写像モジュライ空間を同様の逆極限技法を用いて定義する道筋を示唆している。