[論文レビュー] A Viscosity Approach to Stochastic Differential Games of Control and Stopping Involving Impulsive Control

David Mguni|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、インパルス制御者と停止選択者を含むゼロサム確率的微分ゲームに対して、そのゲーム価値が存在することを確立し、ゲーム価値が二重障害準積分変分不等式として定式化されたHJBI方程式の一意な粘性解であることを証明している。このアプローチは、滑らかさの制限を克服するための粘性理論を用い、拡散ダイナミクスおよびインパルス制御に関する一般な条件下でも適切に定式化されることを保証する。

ABSTRACT

This paper analyses a stochastic differential game of control and stopping in which one of the players modifies a diffusion process using impulse controls, an adversary then chooses a stopping time to end the game. The paper firstly establishes the regularity and boundedness of the upper and lower value functions from which an appropriate variant of the dynamic programming principle (DPP) is derived. It is then proven that the upper and lower value functions coincide so that the game admits a value and that the value of the game is a unique viscosity solution to a HJBI equation described by a double obstacle quasi-integro-variational inequality.

研究の動機と目的

• インパルス制御を用いるプレイヤーと停止時刻を選択するプレイヤーを含む確率的微分ゲームに対して、価値の存在を確立すること。
• 古典的検証法の制限を、特に価値関数が十分に滑らかでない場合に顕著な粘性理論を用いて克服すること。
• ゲーム価値を、二重障害準積分変分不等式として定式化されたハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン・イサアックス（HJBI）方程式の一意な粘性解として特徴づけること。
• 二対のプレイヤーが非対称な制御と停止メカニズムを持つゲームにおける既存の確率的微分ゲーム理論を、インパルス制御と停止を含む形に拡張すること。
• 取引コストを伴う生涯破綻問題のような金融問題のモデリングに、厳密な基礎を提供すること。ここでは、離散的取引行動と最適な退出時刻の両方が重要となる。

提案手法

• インパルス制御と停止時刻を含むゲーム構造に適合した動的計画法（DPP）を導出する。
• 粘性解フレームワークを支えるために、上価値関数と下価値関数の正則性および有界性を確立する。
• 第二階微分上ジャネットと下ジャネット集合を用いて、上価値関数と下価値関数の間の比較議論を構築するため、Ishiiの補題を適用する。
• 粘性下位解および上位解の性質を用いて、HJBI方程式におけるドリフト項、拡散項、および走行コスト項を含む不等式を導出する。
• インパルス制御と停止制約の相互作用を反映する形で、価値関数を二重障害準積分変分不等式の解として特徴づける。
• 比較原理を扱うために、パrameter ε, α, η を用いた摂動議論を行い、最大点において V > U を仮定した場合の矛盾を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な仮定の下で、インパルス制御と停止を伴う確率的微分ゲームは価値を有するか？
• RQ2 インパルス制御と停止時刻が存在する状況において、価値関数がHJBI方程式の粘性解として特徴づけられるか？
• RQ3 インパルス制御問題において一般的に見られる価値関数の滑らかさの欠如は、どのようにして適切な解を得るために補償されるか？
• RQ4 インパルス制御と停止が両方含まれる状況において、ゲーム価値を支配するHJBI方程式の正確な形は何か？
• RQ5 このクラスのゲームにおいて、粘性解クラス内での価値関数の一意性は保証されるか？

主な発見

• ゲームは価値を有し、上価値関数と下価値関数が一致する。
• 価値関数は、二重障害準積分変分不等式として定式化されたHJBI方程式の一意な粘性解である。
• 粘性解フレームワークは、価値関数の滑らかさの欠如を効果的に扱い、古典的検証法の制限を克服した。
• 動的計画法は、インパルス制御と停止を含むゲームに適した変種として確立された。
• 比較原理は摂動議論とIshiiの補題を用いて証明され、最大点において V > U を仮定した場合に矛盾が生じる。
• 古典的HJB導出が微分不可能性のため失敗する場合でも、価値関数は粘性の意味でHJBI方程式を満たす。