[論文レビュー] A viscosity-independent error estimate of a pressure-stabilized Lagrange-Galerkin scheme for the Oseen problem

Shinya Uchiumi|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 42被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、等位相の$P_k/P_k$要素を用いた一時的Oseen問題に対して、圧力安定化付きラグランジュ・ガレルキン有限要素スキームを提案する。この手法は、対称的圧力安定化を用い、速度の$L^2$-ノルムおよび$ u^{1/2}$でスケーリングされた勾配の$L^2$-ノルムにおいて、粘性係数$ u$に依存しない誤差推定を達成する。収束率は$ u$に依存しない$ abla t + h^2 + h^k$である。数値結果は、$ u$が小さい場合や圧力が大きい場合に高い精度を示し、ターレイ・フッド要素を上回ることを確認した。

ABSTRACT

We consider a pressure-stabilized Lagrange-Galerkin scheme for the transient Oseen problem with small viscosity. In the scheme we use the equal-order approximation of order $k$ for both the velocity and pressure, and add a symmetric pressure stabilization term. We show an error estimate for the velocity with a constant independent of the viscosity if the exact solution is sufficiently smooth. Numerical examples show high accuracy of the scheme for problems with small viscosity.

研究の動機と目的

• 一時的Oseen問題に対して、小粘性係数を想定した安定的で高次精度の有限要素スキームの開発。
• 対流優勢および圧力近似誤差に起因する等位相有限要素法の不安定性問題の解決。
• 速度およびその勾配に対して、粘性係数$ abla$に依存しない誤差推定の達成。
• 対称的安定化を用いた高次$P_k/P_k$要素への圧力安定化ラグランジュ・ガレルキン法の拡張。
• 小粘性係数$ abla$および大きな圧力勾配に対して、スキームのロバスト性と精度の数値的検証。

提案手法

• 速度と圧力に等位相の$P_k/P_k$有限要素（$k \geq 1$）を用いた圧力安定化ラグランジュ・ガレルキンスキームを定式化する。
• 等位相近似を安定化するため、バーマンの手法に基づく対称的圧力安定化を適用する。
• 物質微分と対流優勢流れを扱うために、特徴線に基づくラグランジュ・ガレルキン法と時間離散化された変分式を組み合わせる。
• 主な技術的特徴として、$ abla$に依存しない誤差境界を有する正確な速度解の射影を用いる。
• 誤差分解を慎重に行い、勾配除法安定化を不要にする。
• 時間離散化には後退オイラー法を用い、速度場の特徴線に基づく更新を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧力安定化ラグランジュ・ガレルキンスキームに$P_k/P_k$要素を適用することで、Oseen問題に対して粘性係数$ abla$に依存しない誤差推定が達成可能か。
• RQ2 対称的圧力安定化項は、インフラ・インフラ安定性を要件とせず、高次要素に対しても安定性と最適収束性を保証するか。
• RQ3 小粘性係数および大きな圧力勾配に対して、このスキームは数値的にどのように性能を発揮するか。特にターレイ・フッド要素と比較してどうか。
• RQ4 速度およびその勾配の誤差境界は、$L^2$-ノルムにおいて粘性係数$ abla$に依存しないか。
• RQ5 このスキームは、同様の安定性と収束性を有するNavier-Stokes問題へ拡張可能か。

主な発見

• 速度の$L^2$-ノルムおよび速度勾配の$ u^{1/2}$-重み付き$L^2$-ノルムにおいて、粘性係数$ abla$に依存しない誤差推定を達成した。
• 速度および$ u^{1/2}$-重み付き勾配の収束率は$ abla t + h^2 + h^k$であり、定数は$ abla$に依存しない。
• 数値実験により、$ abla = 10^{-4}$の場合でも、スキームは高い精度を維持し、大きな圧力勾配の状況でターレイ・フッド要素スキームを上回ることを示した。
• 特に$ abla$が小さい場合、非安定化スキームに比べて速度場の振動が顕著に低減された。
• スキームは本質的に無条件安定であり、時間刻み$ abla t$とメッシュサイズ$h$を独立に選べる。
• Navier-Stokes問題に対する数値結果は、スキームのロバスト性と非線形問題への応用可能性を示している。