[論文レビュー] A viscosity solution approach to the Monge-Ampere formulation of the Optimal Transportation Problem

Jean‐David Benamou, Brittany D. Froese+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 31被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、状態制約付きのMonge-Ampère方程式を用いた最適輸送問題を解くための収束性を保証する有限差分法を提示する。目的領域の符号付き距離関数に基づくハミルトニアン・ジャコビ方程式を用いて、第二境界値問題を再定式化する。単調スキームとフィルタードスキーム理論を用いることで、一意な粘性解への収束を保証し、一般の凸的目標領域を有するOT問題の堅牢な数値的解法を可能にする。

ABSTRACT

In this work we present a numerical method for the Optimal Mass Transportation problem. Optimal Mass Transportation (OT) is an active research field in mathematics.It has recently led to significant theoretical results as well as applications in diverse areas. Numerical solution techniques for the OT problem remain underdeveloped. The solution is obtained by solving the second boundary value problem for the MA equation, a fully nonlinear elliptic partial differential equation (PDE). Instead of standard boundary conditions the problem has global state constraints. These are reformulated as a tractable local PDE. We give a proof of convergence of the numerical method, using the theory of viscosity solutions. Details of the implementation and a fast solution method are provided in the companion paper arXiv:1208.4870.

研究の動機と目的

• 一般の凸的目標領域を有する最適輸送問題を数値的に収束させる手法を開発すること。
• 標準的な境界条件を欠くMonge-Ampère方程式における状態制約の課題に対処すること。
• 目的領域の符号付き距離関数を用いて第二境界値問題を再定式化し、局所的かつ暗黙的な境界処理を可能にすること。
• 粘性解理論とフィルタードスキームを用いて、有限差分離散化の収束を証明すること。
• 非凸的および退化した場合を含む最適輸送問題の効率的数値解法の基盤を提供すること。

提案手法

• 最適輸送境界条件 ∇u(X) = Y を、目的領域の符号付き距離関数 d(∇u(x), Y) = 0 を用いたハミルトニアン・ジャコビ方程式に再定式化し、∂X 上で定義する。
• 距離関数の凸性を用いて、ハミルトニアン・ジャコビ境界条件の凸性を保証し、解 u の凸性を維持する。
• Monge-Ampère PDE と境界ハミルトニアン・ジャコビ方程式を、傾斜条件に依存する単調な有限差分スキームで離散化する。
• PDE と境界条件を組み合わせて、ほぼ楕円型の有限差分スキームを構築し、フィルタードスキーム理論を用いて収束を保証する。
• 粘性解理論とBarles-Souganidisフレームワークを活用し、離散解が一意な粘性解に収束することを証明する。
• 同伴論文[6]で詳細に示される高速ニュートンソルバーを用いて実装し、計算を効率化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Monge-Ampère方程式の第二境界値問題は、安定な数値的解法を可能にする局所的PDE系に再定式化可能か？
• RQ2 符号付き距離関数とハミルトニアン・ジャコビ境界条件に基づく有限差分スキームは、最適輸送問題の粘性解に収束するか？
• RQ3 単調かつフィルタードスキームは、状態制約を有する完全非線形楕円型PDEにどのように適用可能か？収束を保証できるか？
• RQ4 滑らかでない目標領域を有する最適輸送問題に対して、この数値的手法の収束速度はいかほどか？
• RQ5 非凸的目標領域や、非連結なソースドメインのような退化したケースを処理できるか？

主な発見

• 楕円領域における数値結果から、ソースおよび目標の離散化サイズにおいて1次収束を達成していることが示された。
• 楕円から別の楕円への写像において、32×32グリッド解像度では最大誤差が0.1163であったが、362×362では0.0056に低下し、収束が確認された。
• 非連結なソースドメイン（例：2つの半円が1つの円に写像される）に対しても、最大誤差が高解像度で約0.0039に安定化するなど、最適写像の計算に成功した。
• 非凸的目標領域や滑らかでない密度に対しても、スキームは堅牢で収束性を保ち、直線的および曲線的エッジを併せ持つ混合幾何的目標への写像においても有効であった。
• フィルタードスキーム理論を用いて収束証明が確立され、ハミルトニアン・ジャコビ再定式化を介して状態制約を扱うBarles-Souganidisフレームワークの拡張がなされた。
• 本手法により、一般の凸的サポートおよび密度を有する最適輸送問題が高精度に解けるようになった。標準的なPDE手法が退化や不連続性のため失敗する場合でも、本手法は有効である。