[論文レビュー] A visible factor of the special L-value

Amod Agashé|ArXiv.org|Oct 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、新形式 f に付随する J₀(N) の商 A における特殊 L 値と実周期の比についての公式を提示し、それが有理数として与えられることを示している。この比の分子に現れる整数因子は、f と正の解析的ランクを持つ固有形式との合同関係に関連しており、可視性理論を用いて、この因子を割り切る奇素数 q が、もしあるならば、シャファレヴィッチ＝タイト群の位数または A の成分群の位数を割り切ることを証明している。これは、ベイリ・スミスン＝ダーサー予想の第二部に対する理論的根拠を提供する。

ABSTRACT

Let~$A$ be a quotient of $J_0(N)$ associated to a newform $f$ such that the special $L$-value of $A$ (at $s=1$) is non-zero. We give a formula for the ratio of the special $L$-value to the real period of $A$ that expresses this ratio as a rational number. We extract an integer factor from the numerator of this formula; this factor is non-trivial in general and is related to certain congruences of $f$ with eigenforms of positive analytic rank. We use the techniques of visibility to show that, under certain hypotheses (which includes the first part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture on rank), if an odd prime $q$ divides this factor, then $q$ divides either the order of the Shafarevich-Tate group or the order of a component group of $A$. Suppose $p$ is an odd prime such that $p^2$ does not divide $N$, $p$ does not divide the order of the rational torsion subgroup of $A$, and $f$ is congruent modulo a prime ideal over $p$ to an eigenform whose associated abelian variety has positive Mordell-Weil rank. Then we show that $p$ divides the factor mentioned above; in particular, $p$ divides the numerator of the ratio of the special $L$-value to the real period of $A$. Both of these results are as implied by the second part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, and thus provide theoretical evidence towards the conjecture.

研究の動機と目的

• 新形式に付随するアーベル多様体 A_f に対して、特殊 L 値と実周期の比の分子の算術的意味を理解すること。
• この比に現れる、f と正のモーデル・ヴェイユランクを持つ固有形式との合同関係に起因する整数因子を同定すること。
• 可視性理論を用いて、この因子を割り切る素数 q が、ある仮定の下で、|Ш(A_f)| または A_f の成分群の位数を割り切ることを示すこと。
• 可視性理論を用いて、シャファレヴィッチ＝タイト群の予想される位数が非自明であることを理論的に裏付けること。

提案手法

• モジュラーパラメトライゼーションの理論と J₀(N) の構造を用いて、L(A_f,1)/Ω_A_f を有理数として表す公式を導出する。
• この有理数比の分子に現れる、f と正の解析的ランクを持つ固有形式との合同関係に関連する可視的整数因子を特定する。
• ベイリ・スミスン＝ダーサー予想のランクに関する第一部分を仮定して、可視性理論を適用し、奇素数 q がこの因子を割り切るならば、|Ш(A_f)| または c_p(A_f) のいずれかを割り切ることを示す。
• ℓ-進タイト加群上のフロベニウス作用とガロアコホノロジーを用いて、成分群の位数と p におけるオイラー因子の p-進付値との関係を確立する。
• ℓ-進ガロア表現 V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p の 0 次コホモロジー群 H⁰(ℚ_ℓ, V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p) と、T_ℓ^I_p 上の (1 - Frob_p^{-1}) の余核との同型を用いて、オイラー因子 P_p(p^{-1}) の p-進付値を計算する。
• フロベニウスの固定点を含むガロアコホノロジー的議論により、成分群の位数 c_p(A_f) の p を除く部分が、オイラー因子 P_p(p^{-1}) の付値と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊 L 値と実周期の比 L(A_f,1)/Ω_A_f の分子は、新形式 f の算術的合同関係を反映する整数因子に分解可能か？
• RQ2 奇素数 q がこの整数因子を割り切るならば、q は |Ш(A_f)| または A_f の成分群の位数を割り切るのか？
• RQ3 可視性理論は、f が正のモーデル・ヴェイユランクを持つ固有形式と合同であるとき、シュタイン＝タイト群 Ш(A_f) が非自明であることを示唆するか？
• RQ4 成分群の位数 c_p(A_f) とオイラー因子 P_p(p^{-1}) の p-進付値との関係は何か？

主な発見

• 比 L(A_f,1)/Ω_A_f は有理数であり、その分子には一般に非自明な整数因子が含まれており、これは f と正の解析的ランクを持つ固有形式との合同関係に起因する。
• 奇素数 q がこの整数因子を割り切り、かつベイリ・スミスン＝ダーサー予想の第一部分が成り立つならば、q は |Ш(A_f)| またはある p（N を割る）に対する c_p(A_f) を割り切る。
• f が素イデアル p における固有形式と合同であり、その関連するアーベル多様体が正のモーデル・ヴェイユランクを持つとき、さらに仮定（p²∤N、p∤|A_f(Q)_{tors}|）を満たすならば、p は L(A_f,1)/Ω_A_f の分子を割り切る。
• オイラー因子 P_p(p^{-1}) の p-進付値は、V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p のガロア固定点の位数に等しく、これは p-冪因子を除いて成分群の位数 c_p(A_f) と同型である。
• 成分群の位数 c_p(A_f) は、タイト加群のガロアコホノロジーによって決定され、具体的には V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p 上のフロベニウスの固定点によって特徴づけられる。
• 可視性理論により、f が正のランクを持つ形式と合同であるならば、Ш(A_f) は非自明であり、これは L 値比の分子に反映され、ベイリ・スミスン＝ダーサー予想の第二部を支持する。