[論文レビュー] A volume preserving flow and the isoperimetric problem in warped product spaces

Pengfei Guan, Junfang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、体積を保存する超曲面の流れを歪み付き積空間に導入し、体積を保存しながら表面積を単調に減少させる。流れは指数関数的に r の径方向レベル集合に収束し、等周不等式を証明する：任意のグラフィカル超曲面に対して、面積 ≥ ξ(体積) が成り立ち、等号成立はかつてその超曲面が径方向スライスである場合に限る。これは φ および底多様体の曲率条件のもとで成立する。

ABSTRACT

In this article, we continue the work in \cite{GL} and study a normalized hypersurface flow in the more general ambient setting of warped product spaces. This flow preserves the volume of the bounded domain enclosed by a graphical hypersurface, and monotonically decreases the hypersurface area. As an application, the isoperimetric problem in warped product spaces is solved for such domains.

研究の動機と目的

• 対称空間（球面、ユークリッド空間、双曲空間など）における体積保存型流れを一般の歪み付き積空間へ拡張すること。
• 歪み関数 φ および底多様体 (B^n, g̃) の曲率条件のもとで、正規化された流れ (1.2) の滑らかな解の存在および長期的挙動を確立すること。
• 歪み付き積空間における等周問題を、任意のグラフィカル超曲面の面積がその囲まれた体積の関数 ξ によって下から抑えられることを示すことによって解くこと。
• 等周不等式における等号成立条件を同定し、等号成立はかつてその超曲面が r の径方向レベル集合であることを示すこと。
• 曲率条件 (φ′)² − φφ′′ ≤ K および Ric( g̃ ) ≥ (n−1)K g̃ が流れの安定性および単調性に関連する幾何的意味を明確にすること。

提案手法

• 歪み付き積空間 N^{n+1} = [r₀, r̄] × φ Bⁿ における超曲面の正規化された放物型流れ (1.2) を定義する。この空間の計量は d r² + φ² g̃ である。
• 流れのベクトル場を (nφ′ − uH)ν と定める。ここで u = ⟨X, ν⟩ は、コンformal Killing ベクトル場 X = φ(r)∂r のサポート関数である。
• 勾配推定および最大原理の技法を用いて、解の長期的存在および指数的収束を示し、径方向レベル集合 r = c に収束することを証明する。
• 積分恒等式および発展方程式を用いて、面積関数の単調性と体積の保存性を確立する。
• 面積関数の単調性を示すことで、任意のグラフィカル超曲面 M に対して、Area(M) ≥ ξ(Vol(Ω)) が成り立つことを示し、ここで ξ は A(r) = ξ(V(r)) によって定義される。
• 安定性条件を用いて等号成立条件を分析する。もし (φ′)² − φφ′′ < K または Ric( g̃ ) > (n−1)K g̃ ならば、等号成立はかつて M が径方向スライスである場合に限る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の歪み付き積空間において、体積保存型超曲面の流れは存在するか？ また、径方向スライスに収束するか？
• RQ2 歪み関数 φ および底多様体 (Bⁿ, g̃) の曲率条件が、流れの単調性および安定性を満たす条件は何か？
• RQ3 この流れを用いて、歪み付き積空間における等周不等式を確立できるか？ また、等号成立は径方向レベル集合でのみ成立するか？
• RQ4 条件 (φ′)² − φφ′′ ≤ K および Ric( g̃ ) ≥ (n−1)K g̃ は、幾何的安定性および体積制約下での面積最小化とどのように関係するか？
• RQ5 等周プロファイル ξ(x) = A(r) で x = V(r) となる場合の明示的形は何か？ そして、φ および g̃ からどのように計算されるか？

主な発見

• 曲率条件 (1.3) を満たす限り、流れ (1.2) はすべての t ∈ [0, ∞) に対して滑らかな解を持つ。解は指数関数的に径方向レベル集合 r = c に収束する。
• 任意の滑らかなグラフィカル超曲面 M の面積は、ξ(Vol(Ω)) によって下から抑えられる。ここで ξ は A(r) = ξ(V(r)) によって定義される。これにより、歪み付き積空間における等周不等式が証明される。
• 等号成立は、(φ′)² − φφ′′ < K または Ric( g̃ ) > (n−1)K g̃ を満たす限り、かつて M が径方向レベル集合 r = c である場合に限る。
• K = 0 の場合、(φ′)² = φφ′′ が成り立つと、φ(r) = a e^{br} であることが示され、流れは C^k 全ての k に対して収束する。
• n = 1 かつ φ(r) = sin(r) の場合、等周プロファイルは明示的に ξ(x) = √[x(4π − x)] と与えられ、φ(r) = sinh(r) の場合は ξ(x) = √[x(4π + x)] である。
• 条件 (φ′)² − φφ′′ ≤ K は流れの単調性を保証し、Lichnerowicz の定理に従い、径方向スライスが CMC 表面としての安定性に対応する。