[論文レビュー] A W(E_6)-equivariant projective embedding of the moduli space of cubic surfaces

Masaaki Yoshida|ArXiv.org|Feb 13, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自然な標的空間が79次元であるのにもかかわらず、ℙ⁷⁸内の9次元部分空間における線形および三次方程式の系を用いて、マーク付き立方曲面のモジュライ空間の W(E₆)-不変な射影的埋め込みを構成する。主な結果は、E₆のワイル群作用に関して不変な多項式関係によって定義される閉部分多様体として、モジュライ空間が実現されることである。

ABSTRACT

An explicit projective embedding of the moduli space of marked cubic surfaces is given. This embedding is equivariant under the Weyl group of type E6. The image is defined by a system of linear and cubic equations. To express the embedding in a most symmetric way, the target would be 79-dimensional, however the image lies in a 9-dimensional linear subspace.

研究の動機と目的

• マーク付き立方曲面のモジュライ空間を、その幾何的構造のW(E₆)対称性を尊重する射影的埋め込みを構成すること。
• ℙ²の6点における吹き上げから得られる座標を用いて、対称的かつ代数的に明示的な形で埋め込みを表現すること。
• 像を最小次元の環境空間における線形および三次多項式の系として定義する方程式を特定すること。
• 自然な埋め込みが79次元であるのにもかかわらず、像がℙ⁷⁸内の9次元線形部分空間に含まれることを示すこと。
• E₆のワイル群作用とその生成子に対応する有理写像を用いて、明示的かつ不変な形でモジュライ空間を記述すること。

提案手法

• D(x) を滑らかさを保証する差積および二次不変量の積とする。D(x) は滑らかな立方曲面を保証する。このとき、モジュライ空間 M を {x ∈ ℂ⁴ | D(x) ≠ 0} としてアフィン開集合として表す。
• M 上に6つの有理的対合 s₁ から s₆ を定義し、これらはワイル群 W(E₆) と同型な群を生成し、6点の配置の対称性を保つ。
• 各マーク付き立方曲面を、30個の斉次座標 y₁,…,y₃₀ と、線形および三次関係を満たす追加座標 g₀,…,g₉ を用いて、79次元空間 ℙ⁷⁸ への有理写像 φ: M → ℙ⁷⁸ を構成する。
• 像が70個の線形および三次関係を満たすことを示し、特に y₃, y₇, y₁₀, y₁₉ の消滅を示すことにより、環境空間を9次元線形部分空間に縮小する。
• W(E₆)の群作用を用いて像の構造を分析し、特に座標超平面との交差を調べ、V ∩ {y₁ = 0} の成分が、より低次元の部分多様体のG軌道上にあることを示す。
• 係数多項式の結果式およびGCDを用いて整合性条件を導出し、2次判別式 dd(s) と2次形式 qq(s,t) を得る。これにより t を s の関数として解き、系を3つの主要な方程式に簡約できる：dd=0、qq=0、および cube₁₁=0。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーク付き立方曲面のモジュライ空間は、その幾何的構造のW(E₆)対称性を尊重する射影空間への埋め込みが可能か？
• RQ2 W(E₆)-不変性を保ったまま、モジュライ空間を閉部分多様体として埋め込める最小次元の射影空間は何か？
• RQ3 E₆型ワイル群作用に関して対称的かつ明示的な形で記述できる、モジュライ空間の定義方程式は何か？
• RQ4 6つの有理的対合 s₁,…,s₆ は、モジュライ空間のW(E₆)対称性を生成するために果たす役割は何か？
• RQ5 環境次元を低減した後、射影空間内のモジュライ空間の像は、代数的関係によってどのように記述できるか？

主な発見

• マーク付き立方曲面のモジュライ空間 M は、滑らかさを保証する線形および二次因子の積である D(x) を用いて、{x ∈ ℂ⁴ | D(x) ≠ 0} としてアフィン開集合と同型である。
• ワイル群 W(E₆) は、6つの有理的対合 s₁,…,s₆ を用いて M 上に作用し、これらは W(E₆) と同型な群を生成し、モジュライ空間を不変に保つ。
• 射影的埋め込み φ: M → ℙ⁷⁸ は W(E₆)-不変であり、自然な標的空間が79次元であるのにもかかわらず、9次元線形部分空間に因数分解される。
• φ の像は70個の式で定義される：4つの線形式（y₃=y₇=y₁₀=y₁₉=0）と66個の三次式。残りの26個の三次式は代入により線形式に還元可能である。
• 系の整合性は2次判別式 dd(s)（s = g₇ に関する2次多項式）と2次形式 qq(s,t) によって支配され、t の分子次数が1にまで低減される。
• 一般の ℙ⁴ の点に対して、π による逆像は正確に2点から構成され、dd=0 を解き、次に t = -b₁₁/a₁₁ を得る。g₆, g₈, g₉ は cub₃, cub₇, cub₁₉ の消滅により一意に定まる。