[論文レビュー] A wavelet Plancherel theory with application to sparse continuous wavelet transform

Ron Levie, Nir Sochen|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2017

Image and Signal Denoising Methods参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、信号をウィンドウ・シグナル空間に埋め込む波形-プランシュレル理論を導入し、波形-プランシュレル変換によって信号空間と位相空間の間の等長的同型写像を実現する。この同型写像を活用することで、ウィンドウ・シグナル空間における係数探索による高効率なスパース近似が可能となり、標準のマッチング追求アルゴリズムと比較して計算複雑度が低減する。

ABSTRACT

We introduce a framework for calculating sparse approximations to signals based on elements of continuous wavelet systems. The method is based on an extension of the continuous wavelet theory. In the new theory, the signal space is embedded in larger abstract signal space, which we call the window-signal space. There is a canonical extension of the wavelet transform on the window-signal space, which is an isometric isomorphism from the window-signal space to a space of functions on phase space. Hence, the new framework is called a wavelet-Plancherel theory, and the extended wavelet transform is called the wavelet-Plancherel transform. Since the wavelet-Plancherel transform is an isometric isomorphism, any operation on phase space can be pulled-back to an operation in the window-signal space. Using this pull back property, it is possible to pull back a search for big wavelet coefficients to the window-signal space. We can thus avoid inefficient calculations on phase space, performing all calculations entirely in the window-signal space. We consider in this paper a matching pursuit algorithm based on this coefficient search approach. Our method has lower computational complexity than matching pursuit algorithms based on a naive coefficient search.

研究の動機と目的

• 連続ウェーブレット系を用いたスパース信号近似の理論的枠組みの構築を目的とする。
• マッチング追求における位相空間内での直接的な係数探索の高コスト問題を解決することを目的とする。
• 信号空間をより大きなウィンドウ・シグナル空間に埋め込み、位相空間との等長的同型写像を可能とすることを目的とする。
• 位相空間からウィンドウ・シグナル空間への演算の逆引きにより、計算を効率化することを目的とする。
• マッチング追求に基づくスパース近似アルゴリズムの計算複雑度を低減することを目的とする。

提案手法

• 信号空間を、より大きな抽象空間であるウィンドウ・シグナル空間に埋め込む。
• ウィンドウ・シグナル空間から位相空間上の関数空間への等長的同型写像として、拡張されたウェーブレット変換、すなわちウェーブレット-プランシュレル変換を定義する。
• 位相空間における演算、例えば係数探索を、ウィンドウ・シグナル空間に逆引きして計算に用いる。
• 逆引きの性質により、すべての計算をウィンドウ・シグナル空間内に完全に留め、直接的な位相空間演算を回避する。
• ウィンドウ・シグナル空間におけるこの係数探索アプローチに基づき、マッチング追求アルゴリズムを構築する。
• 位相空間への直接的なサンプリングを避けることで、非効率な計算を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続ウェーブレット系をどのように拡張すれば、信号処理における効率的なスパース近似が可能になるか？
• RQ2 ウェーブレット変換における信号空間と位相空間の間の等長的同型写像を支える数学的枠組みは何か？
• RQ3 係数探索を最適化するために、問題をより大きな信号空間に変換することは可能か？
• RQ4 位相空間での直接計算と比較して、ウィンドウ・シグナル空間で演算を行うことで得られる計算上の利点は何か？
• RQ5 ウェーブレット-プランシュレル変換は、スパース近似アルゴリズムにおける複雑度低減をどのように実現するか？

主な発見

• ウェーブレット-プランシュレル変換は、ウィンドウ・シグナル空間と位相空間上の関数との間で等長的同型写像を確立する。
• この同型写像により、位相空間におけるすべての演算を、ウィンドウ・シグナル空間で同等に実行できる。
• この方法により、ウィンドウ・シグナル空間で演算することで、マッチング追求のためのより効率的な係数探索が可能になる。
• 得られるスパース近似アルゴリズムの計算複雑度は、直接的な位相空間ベースのマッチング追求よりも低くなる。
• この枠組みは、計算オーバーヘッドを低減した連続ウェーブレット系を用いたスパース信号表現の理論的基盤を提供する。