[論文レビュー] A weak limit theorem for quantum walks on the half-line

Chaobin Liu, Nelson Petulante|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、任意の境界条件をもつ半直線上の2状態量子ウォークに対して、弱極限定理を確立し、遷移確率が極限分布に収束することを証明する。ハダマードウォークの場合、極限分布は初期コイン状態に依存せず、局在化を示さない。これは一般の境界条件のもとで局在化の可能性があるにもかかわらずである。

ABSTRACT

For a discrete two-state quantum walk (QW) on the half-line with a general condition at the boundary, we formulate and prove a weak limit theorem describing the terminal behavior of its transition probabilities. In this context, localization is possible even for a walk predicated on the assumption of homogeneity. For the Hadamard walk on the half-line, the weak limit is shown to be independent of the initial coin state and to exhibit no localization.

研究の動機と目的

• 一般の境界条件のもとで、半直線上の離散的2状態量子ウォークに対する弱極限定理を定式化すること。
• このようなウォークにおける遷移確率の終端的挙動を分析すること。
• 均質的量子ウォークが半直線上で局在化を示す可能性があるかどうかを調査すること。
• 特にハダマードウォークにおいて、弱極限が初期コイン状態にどのように依存するかを特定すること。

提案手法

• 原点における一般の境界条件をもつ半直線上の量子ウォークのダイナミクスを形式化すること。
• スペクトル解析と母関数技術を用いて、位置確率の漸近的分布を導出すること。
• 時間発展状態を解析し、弱極限挙動を抽出するためにフーリエ変換を用いること。
• ウォークの時間発展演算子から導かれる関数方程式の解として、弱極限分布を導出すること。
• 一般結果をハダマードウォークに特化し、初期コイン状態の役割を検討すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の境界条件をもつ半直線上の一般の2状態量子ウォークにおける位置確率の漸近的分布は何か？
• RQ2 欠陥や不均一性が存在しない均質的量子ウォークが、半直線上で局在化を示すことは可能か？
• RQ3 ハダマードウォークの半直線上における弱極限は、初期コイン状態にどのように依存するか？
• RQ4 ハダマードウォークの半直線上における弱極限分布は、初期コイン状態に依存しないか？

主な発見

• 任意の境界条件をもつ半直線上の2状態量子ウォークに対して、一般の弱極限定理が確立された。
• 境界条件に依存して、均質的ダイナミクスのもとでも半直線上の設定では局在化が可能である。
• ハダマードウォークの半直線上では、弱極限は初期コイン状態に依存しない。
• ハダマードウォークの半直線上の弱極限は局在化を示さず、極限分布が連続的かつ非原子的であるためである。