[論文レビュー] A weak set theory that proves its own consistency

Fedor Pakhomov|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、カルマル素性算術（$\mathsf{EA}$）の保存的拡張における一連の算術化を通じて、自身の無矛盾性を証明する弱い集合論 $Θ_{<\omega}$ を導入する。従来の自己無矛盾系とは異なり、$\mathsf{H}_{<\omega}$ は自然に定式化されており、断片的には有限公理化可能であり、ロビンソン算術 $\mathsf{Q}$ を解釈しないことでゴデルの第二不完全定理を回避し、算術的文のカットに基づく翻訳によって自己検証を達成する。

ABSTRACT

In the paper we introduce a weak set theory $\mathsf{H}_{

研究の動機と目的

• 自身の無矛盾性を証明する自然で弱い集合論を構築し、ゴデルの第二不完全定理の制約を回避すること。
• ロビンソン算術 $\mathsf{Q}$ を解釈しない理論が、それでも自身の無矛盾性を証明できることを示し、このような結果を得るための強い解釈性の必要性に疑問を呈すること。
• $\mathsf{H}_{<\omega}$ と $\mathsf{EA}$ 間の保存性結果を確立し、算術化を通じて無矛盾性証明の移行を可能にすること。
• $\mathsf{H}_{<\omega}$ が局所的に有限に充足可能であること、つまりすべての有限部分理論が有限モデルを持つことにより、プドラークのゴデルの定理の強い形を回避できることを示すこと。
• 高階の変種 $\mathsf{H}^{\omega}_{<\omega}$ に分析を拡張し、超指数関数的カットを用いることで $\Pi_1$ 文の証明における技術的利点を示すこと。

提案手法

• ヒエラルキー的有限集合と有限フォン・ノイマン順序数に基づく弱い集合論 $\mathsf{H}_{<\omega}$ を形式化し、標準的な集合論的定義を用いて算術言語を埋め込む。
• 予想される算術的言語（述語のみ）において、ヒルベルト的無矛盾性文 $\mathsf{Con}^\mathsf{pred}(\mathsf{H}_{<\omega})$ を定義し、$\Pi_1$-式を保存する翻訳を用いる。
• 保存性結果を確立する：任意の $\Pi_1^\mathsf{pred}$ 文 $\varphi$ に対して、$\mathsf{EA} \vdash \varphi^{2\mathcal{S}}$ ならば $\mathsf{H}_{<\omega} \vdash \mathcal{NAT}(\varphi)$ が成り立つ。ここで $\mathcal{S}$ は超指数関数的カットである。
• $\mathsf{H}_{<\omega}$ におけるカットに基づく推論戦略を用いる：領域 $<2n$ 上で $\varphi$ を直接検証するか、$\mathsf{Nat}^{-n}$ の和閉性を用いてカットから全領域への真の拡張を行う。
• 高階の変種 $\mathsf{H}^{\omega}_{<\omega}$ を導入し、算術的文の解釈をより強固にし、証明論的解析を簡略化する。
• $\mathsf{H}_{<\omega}$ とロビンソン算術 $\mathsf{R}$ 間の相互解釈性を証明し、$\mathsf{H}_{<\omega}$ が $\mathsf{R}$ の集合論的類似物であることを示すが、$\mathsf{R}$ とは異なり自身の無矛盾性を証明できることを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロビンソン算術 $\mathsf{Q}$ を解釈しない弱く自然な集合論が、自身の無矛盾性を証明できるか？
• RQ2 $\mathsf{H}_{<\omega}$ と $\mathsf{EA}$ 間の保存性は、どの程度、初等算術から集合論への無矛盾性証明の移行に利用可能か？
• RQ3 $\mathsf{H}_{<\omega}$ のすべての有限部分理論が有限モデルを持つという有限モデルの性質は、ゴデルの第二不完全定理の強い形を回避できるか？
• RQ4 高階のバージョン $\mathsf{H}^{\omega}_{<\omega}$ は、$\mathsf{H}_{<\omega}$ よりも $\Pi_1$ 文の取り扱いにおいて、技術的にどのように向上するか？
• RQ5 自然な算術化により、$\mathsf{H}_{<\omega} \vdash \mathsf{Con}^\mathsf{pred}(\mathsf{H}_{<\omega})$ が成り立つような、$\mathsf{H}_{<\omega}$ のための無矛盾性の算術化は存在するか？

主な発見

• $\mathsf{H}_{<\omega}$ は、ヒルベルト的無矛盾性文 $\mathsf{Con}^\mathsf{pred}(\mathsf{H}_{<\omega})$ の自然な算術化を通じて、自身の無矛盾性を証明する。
• 理論 $\mathsf{H}_{<\omega}$ は局所的に有限に充足可能である：すべての有限部分理論が有限モデルを持つ。この性質により、プドラークのゴデルの第二不完全定理の強い形が阻止される。
• 保存性結果が存在する：任意の $\Pi_1^\mathsf{pred}$ 文 $\varphi$ に対して、$\mathsf{EA} \vdash \varphi^{2\mathcal{S}}$ ならば $\mathsf{H}_{<\omega} \vdash \mathcal{NAT}(\varphi)$ が成り立つ。これにより、無矛盾性証明の移行が可能になる。
• 高階の変種 $\mathsf{H}^{\omega}_{<\omega}$ は、$\Pi_1^\mathsf{pred}$ 文 $\varphi$ を証明するための必要十分条件として、$\mathsf{EA}$ が超指数関数的カット $2\mathcal{S}$ 上で $\varphi$ が成り立つことである。
• $\mathsf{H}_{<\omega}$ とロビンソン算術 $\mathsf{R}$ は相互に解釈可能であり、$\mathsf{H}_{<\omega}$ は $\mathsf{R}$ の集合論的類似物である。しかし $\mathsf{R}$ とは異なり、$\mathsf{H}_{<\omega}$ は自身の無矛盾性を証明する。
• $\mathsf{H}_{<\omega}$ における自己無矛盾性の証明は、$2n$ の存在に関する場合分けに依存し、有界量化と領域 $\mathsf{Nat}^{-n}$ の和閉性を用いて、カットから全自然数への真の拡張がなされる。