[論文レビュー] A weak type (1,1) inequality for maximal averages over certain sparse sequences

Michael Christ|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、lacunary素数と多項式桁展開から導かれる構造的集合を用いて、整数環 $\mathbb{Z}$ 上の明示的で疎な列 $(n_\nu)$ を構成し、$n_\nu \asymp \nu^m$（$m \geq 2$ である整数）を満たすものとする。この列に付随する最大作用素が弱型 $(1,1)$ であることを示すために、Tauberian型基準を用い、指数和推定と測度分解を組み合わせて $L^1$ ノルムの減衰を制御する。これにより、平方数を越える多項式列における長年の端点問題が解決される。

ABSTRACT

Examples are constructed of sparse subsequences of the integers for which the associated maximal averages operator is of weak type (1,1). A consequence, by transference, is that an almost everywhere L^1 -- type ergodic theorem holds for corresponding subsequences of iterates of general measure-preserving transformations. These examples can be constructed so that n_k has growth rate k^m for any prescribed integer power m greater than or equal to 2. Urban and Zienkiewicz have established the same conclusion for other subsequences, which have growth rate k^m for noninteger exponents m sufficiently close to 1; the first novelty here is that the exponent can be arbitrarily large. In contrast, Buczolich and Mauldin have shown that the corresponding conclusion fails to hold if n_k is exactly k^2. The rather simple analysis relies on certain exponential sum bounds of Weil, together with a decomposition of Calderon-Zygmund type in which the exceptional set is defined in terms of the subsequence in question. The subsequences used are closely related to those employed by Rudin in a 1960 paper in which examples of Lambda(p) sets were constructed.

研究の動機と目的

• 整数 $m \geq 2$ に対して、列 $n_\nu = \nu^m$ に付随する最大作用素が $\mathbb{Z}$ 上で弱型 $(1,1)$ であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 整数 $m \geq 2$ に対して $n_\nu \asymp \nu^m$ を満たし、弱型 $(1,1)$ 最大作用素を与える明示的かつ代数的に構造化された疎な列を構成すること。
• これまでの $m \in (1,2)$ の場合に限られていた、疎な列に対する弱型 $(1,1)$ 有界性の範囲を拡張すること。
• lacunary素数と多項式桁展開を用いた構成的手法を提供し、制御された成長とスペクトル減衰を有するこのような列を生成すること。

提案手法

• 整数 $p_k$ を法とする $\mathbb{Z}_{p_k}$ 上の多項式写像 $j \mapsto \sum_{r=1}^m p_k^{r-1} [j^r]_{p_k}$ の像として集合 $\mathcal{S}_k$ を定義し、$|\mathcal{S}_k| = p_k$ かつ $\mathcal{S}_k \subset [a_k, a_k + p_k^m]$ となるように保証する。
• 全列 $\{n_\nu\}$ を $\mathcal{S} = \bigcup_k \mathcal{S}_k$ の増加順列挙として構成し、$a_{k+1} > a_k + p_k^m$ により $k$ 間での厳密な順序付けを確保する。
• 弱型 $(1,1)$ 有界性を示すために、Tauberian型基準（定理 1.2）を適用し、$\gamma = m$ のもとで $\|\widehat{\mu_k} - \widehat{\nu_k}\|_{L^\infty} \leq C 2^{-k\gamma/2}$ の推定に帰着する。
• 特に、$r \geq 2$ のとき $|\sum_{j=0}^{p-1} e^{-2\pi i (j^r \cdot \xi)/p}| \leq C p^{-1/2}$ である指数和推定を用いて、$\|\widehat{\mu_k} - \widehat{\nu_k}\|_{L^\infty}$ を制御する。
• $\mathcal{S}_k$ に付随する測度 $\mu_k$ を $\tilde{\mu}_k - \nu_k$ と分解し、$\tilde{\mu}_k$ を下界、$\nu_k$ を有界な誤差とみなす。このとき $\|\nu_k\|_{\infty} \leq C p_k^{-m}$ が成り立つ。
• $\nu_k$ の正値性と台の制御を用いて、$\sup_k |f * \nu_k|$ を定数倍の Hardy-Littlewood 最大関数で支配し、誤差項の弱型 $(1,1)$ を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $m \geq 2$ に対して、$n_\nu \asymp \nu^m$ を満たす疎な列 $\{n_\nu\}$ に付随する最大作用素が $\mathbb{Z}$ 上で弱型 $(1,1)$ である可能性はあるか？
• RQ2 列 $\{n_\nu\}$ にどのような構造的条件を課すと、それに付随する最大作用素が弱型 $(1,1)$ 不等式を満たすか？
• RQ3 有限体上での指数和推定をどのように用いることで、離散測度のフーリエ変換の $L^\infty$ ノルムを制御できるか？
• RQ4 整数 $m \geq 2$ に対して、$n_\nu \asymp \nu^m$ を満たし、弱型 $(1,1)$ 最大作用素を与える明示的かつ代数的に定義された列を構成することは可能か？

主な発見

• 構成された列 $\{n_\nu\}$ に付随する最大作用素は、すべての整数 $m \geq 2$ に対して $\ell^1(\mathbb{Z})$ 上で弱型 $(1,1)$ である。
• 列 $\{n_\nu\}$ はすべての整数 $m \geq 2$ に対して $n_\nu \asymp \nu^m$ を満たし、$m$ に依存しない一様な定数を伴う。
• 構成は、素数 $p_k$ を法とする多項式桁展開によって定義された集合 $\mathcal{S}_k$ に依存しており、$|\mathcal{S}_k| = p_k$ かつ $\mathcal{S}_k \subset [a_k, a_k + p_k^m]$ を満たす。
• 主な技術的進歩は、Tauberian基準におけるフーリエ変換差の制御に、特に $r \geq 2$ のとき $|\sum_{j=0}^{p-1} e^{-2\pi i (j^r \cdot \xi)/p}| \leq C p^{-1/2}$ である指数和推定を用いることにある。
• この手法は有理数の指数 $r > 1$ にまで拡張可能であり、$d$ 次元多項式写像を用いた第二の構成により、$n_\nu \asymp \nu^r$（$r = (d+1)/d$）を満たす列を構成可能である。
• 本結果により、多項式列における正の端点ケースが確立され、既存の研究で知られている $n_\nu = \nu^2$ および $n_\nu = \nu^m$（$m \geq 2$）に対する否定的結果とは対照的である。