[論文レビュー] A weak-type inequality for non-commutative martingales and applications

Narcisse Randrianantoanina|ArXiv.org|Sep 8, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、von Neumann代数における非可換マルティングール平方関数について、弱型(1,1)不等式を確立する。任意の $L^1 \cap L^2$ で有界なマルティングールに対して、その分解が二つの差分列に分けられ、それらの非可換平方関数が一様な弱型(1,1)および強型(2,2)の境界を満たすことを証明する。この結果により、非可換Burkholder-Gundy不等式における定数の最適な増加率が得られ、非可換 $L\log L$ 空間における弱型推定を強化する。

ABSTRACT

We prove a weak-type (1,1) inequality for square functions of non-commutative martingales that are simultaneously bounded in $L^2$ and $L^1$. More precisely, the following non-commutative analogue of a classical result of Burkholder holds: there exists an absolute constant $K>0$ such that if $\cal{M}$ is a semi-finite von Neumann algebra and $(\cal{M}_n)^{\infty}_{n=1}$ is an increasing filtration of von Neumann subalgebras of $\cal{M}$ then for any given martingale $x=(x_n)^{\infty}_{n=1}$ that is bounded in $L^2(\cal{M})\cap L^1(\cal{M})$, adapted to $(\cal{M}_n)^{\infty}_{n=1}$, there exist two \underline{martingale difference} sequences, $a=(a_n)_{n=1}^\infty$ and $b=(b_n)_{n=1}^\infty$, with $dx_n = a_n + b_n$ for every $n\geq 1$, \[ | (\sum^\infty_{n=1} a_n^*a_n)^{{1}/{2}}|_{2} + | (\sum^\infty_{n=1} b_nb_n^*)^{1/2}|_{2} \leq 2| x |_2, \] and \[ | (\sum^\infty_{n=1} a_n^*a_n)^{{1}/{2}}|_{1,\infty} + | (\sum^\infty_{n=1} b_nb_n^*)^{1/2}|_{1,\infty} \leq K| x |_1. \] As an application, we obtain the optimal orders of growth for the constants involved in the Pisier-Xu non-commutative analogue of the classical Burkholder-Gundy inequalities.

研究の動機と目的

• マルティングール平方関数に関するBurkholderの古典的弱型(1,1)不等式の非可換類似を確立すること。
• 古典的Khintchine不等式が失敗する非可換 $L^1$-空間への弱型推定の拡張という課題を解決すること。
• 非可換Burkholder-Gundy不等式における定数の最適な増加率を $p \to 1^+$ のとき導出すること。
• 弱型推定を非可換 $L\log L$ 空間における推定を強化するために応用すること。
• マルティングールを二つの成分に分解し、それらの平方関数が $L^2$ および弱-$L^1$ ノルムを両方制御することを提供すること。

提案手法

• 非可換マルティングール $x = a + b$ を二つのマルティングール差分列 $a_n$, $b_n$ に分解する。ここで $dx_n = a_n + b_n$ である。
• 非可換 $L^p$-ノルムおよび非可換平方関数を $\left\| \left( \sum a_n^*a_n \right)^{1/2} \right\|_p$ および $\left\| \left( \sum b_n b_n^* \right)^{1/2} \right\|_p$ を用いて定義する。
• 古典的Doobの恒等式の非可換類似およびマルティングール変換技術を用いて、弱型(1,1)境界を導出する。
• 双対性および補間技術を用いて、$\mathcal{H}^p$-ノルムを $L^p$-ノルムおよび $L^{p'}$-MO ノルム ($1 < p < 2$) と関連付ける。
• Haagerupの近似を用いて、有限von Neumann代数から一般の半有限な代数への結果の拡張を行う。
• 弱型推定を非可換 $L\log L$ 空間における境界の強化に応用する。双対性およびノルム同値性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^1 \cap L^2$ で有界なマルティングールに対して、非可換マルティングール平方関数の弱型(1,1)不等式を確立できるか？
• RQ2 非可換Burkholder-Gundy不等式における定数の最適な増加率は、$p \to 1^+$ のときどのように振る舞うか？
• RQ3 弱型(1,1)境界を非可換 $L\log L$ 空間における推定を強化するために使用できるか？
• RQ4 非可換マルティングールを二つの差分列に分解でき、それらの平方関数が $L^2$ および弱-$L^1$ の両方の境界を満たすか？
• RQ5 非可換 $L^p$-ノルム推定における定数は、$p \to 1^+$ のときどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意のマルティングール $x$ が $L^1 \cap L^2$ で有界であるとき、ある絶対定数 $K > 0$ が存在し、分解 $x = a + b$ が $\left\| \left( \sum a_n^*a_n \right)^{1/2} \right\|_{1,\infty} + \left\| \left( \sum b_n b_n^* \right)^{1/2} \right\|_{1,\infty} \leq K \|x\|_1$ を満たす。
• $L^2$-ノルムに関して、$\left\| \left( \sum a_n^*a_n \right)^{1/2} \right\|_2 + \left\| \left( \sum b_n b_n^* \right)^{1/2} \right\|_2 \leq 2\|x\|_2$ が成り立つ。
• 非可換Burkholder-Gundy不等式における定数の最適な増加率は、$p \to 1^+$ のとき $\alpha_p \approx (p-1)^{-1}$ である。
• $1 < p < 2$ のとき、$\mathcal{H}^p$ の双対空間は $L^{p'}\text{MO}$ であり、双対不等式におけるノルム $\lambda_q'$ は $q \to \infty$ のとき $\lambda_q' \approx q$ である。
• 非可換 $L\log L$ で有界なマルティングールに対して、$\mathcal{H}^1$-ノルムは $\|x\|_{\mathcal{H}^1} \leq K + K\|x_\infty\|_{L\log L}$ を満たす。これは[40]における予想を確認する。
• Haagerupの近似およびJunge-Xuの拡張技術を用いて、結果は一般の半有限なvon Neumann代数へ拡張可能である。