[論文レビュー] A Wegner estimate for multi-particle random Hamiltonians

Werner Kirsch|ArXiv.org|Apr 20, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 8被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、確率密度関数が有界である i.i.d. ランダムポテンシャルを伴う格子上の多粒子アンダーソンハミルトニアンに対して、Wegner推定を確立する。Wegnerの元来の手法にインspiredされ、Stollmannによって精錬された摂動に基づくアプローチを用い、有限体積ハミルトニアンのスペクトルが与えられたエネルギー E から κ 以内にある確率に対する体積依存の上界を導出する。これは、不規則な多体系における多スケール解析と局在化を示すために重要な要素である。

ABSTRACT

We prove a Wegner estimate for a large class of multiparticle Anderson Hamiltonians on the lattice. These estimates will allow us to prove Anderson localization for such systems. A detailed proof of localization will be given in a subsequent paper.

研究の動機と目的

• 格子上の多粒子アンダーソンハミルトニアンに対して、単粒子系の結果を拡張したWegner型推定を確立すること。
• 先行研究で必要とされていたポテンシャル密度の解析性といった強い仮定を排除すること。
• 多スケール解析を用いた多粒子不規則系におけるアンドリュー局在性の証明に向けた基礎的推定を提供すること。
• スペクトル摂動技法とトレース推定を用いて、Wegnerの元来のアイデアを多粒子系に一般化すること。
• 結果が区別可能な粒子および、対称性削減を経てフェルミオン系・ボソン系に対しても適用可能であることを保証すること。

提案手法

• コンパクトな台を持つ滑らかなカットオフ関数 φ を用いたスペクトル射影法を採用し、φ は非減少で、[κ, ∞) で 1、(−∞, −κ] で 0 となる。
• ランダムポテンシャル v(ξ) に関する微分を含むトレース公式を適用し、v(ξ) の変化に沿った微分積分法の基本定理を活用する。
• 変化するポテンシャル下での固有値の変化を捉える恒等式 ∫(∂φ/∂v(ξ)) ρ(v) dv = φ(E_n(H^{Λ}_{v(ξ)=max}) − E + t) − φ(E_n(H^{Λ}_{v(ξ)=min}) − E + t) を用いる。
• v(ξ) を最小値から最大値に変化させることで、ランクが高々 M = K|Λ|/|Λ₁| の摂動が生じ、固有値の入れ子関係 E_n(H^{Λ}_{min}) ≤ E_n(H^{Λ}_{max}) ≤ E_{n+M}(H^{Λ}_{min}) が成り立つことを利用する。
• 補題 3.2 を適用し、φ の値の差の和を M で上から抑える。これは φ の単調性と入れ子関係の性質を活用する。
• すべての推定を組み合わせ、最終的な上界 P(dist(σ(H^Λ), E) < κ) ≤ ||ρ|| · 4κ|Λ| を得る。ここで ||ρ|| はポテンシャル密度の本質的上限である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率密度関数が有界であるという最小限の仮定の下で、格子上の多粒子アンダーソンハミルトニアンに対してWegner推定を確立できるか？
• RQ2 スペクトル摂動とトレース推定に基づく標準的Wegner法は、ポテンシャル密度の解析性を仮定せず、多粒子系に拡張可能か？
• RQ3 多粒子系において、固有値の回避確率は系のサイズとポテンシャル密度にどのように依存するか？
• RQ4 得られたWegner推定は、多粒子不規則系における多スケール解析を可能とし、アンドリュー局在性を示すのに役立つのか？
• RQ5 この推定の体積依存性は単粒子系と比べてどう異なるのか？また、局在化証明にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿は、i.i.d. ランダムポテンシャルが有界密度 ρ を持つ ℤ^Nd 上の N 粒子アンダーソンハミルトニアンに対して、P(dist(σ(H^Λ), E) < κ) ≤ ||ρ|| · 4κ|Λ| を得るWegner推定を確立した。
• 上界は体積に依存し、|Λ| の線形因子を含むが、これは多スケール解析に十分であるが、連続的状態密度関数の正則性を示すものではない。
• 解析的仮定を排除し、ρ の有界性のみに依存するため、先行研究を一般化した。
• 区別可能な粒子および、対称性削減によりフェルミオン系・ボソン系に対しても適用可能である。
• 証明技法は頑健であり、連続的状態のアロイ型モデルにも拡張可能であるが、体積因子の指数が悪くなる（2 になる）。
• 得られた推定は、多スケール法を用いた多粒子系におけるアンドリュー局在性の証明に不可欠な要素である。詳細は後続論文で示されている。