[論文レビュー] A weighted finite difference method for the fractional diffusion equation based on the Riemann-Liouville derivative

Ercı́lia Sousa, Can Li|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、1 < α < 2 の Riemann-Liouville 空間微分作用素を有する1次元分数マクスウェル方程式に対して、2次精度の重み付き有限差分法を提示する。Riemann-Liouville微分作用素の新規な2次精度離散化を導入し、Crank-Nicolsonおよび後退オイラーの変種を含む、無条件安定な τ-スキームを構築した。安定性は von Neumann 分析により証明され、数値実験により時間および空間方向で2次収束が確認された（τ = 1/2 の場合）。本手法は、高い精度で異常なスーパー拡散ダイナミクスを的確に捉えることができる。

ABSTRACT

A one dimensional fractional diffusion model with the Riemann-Liouville fractional derivative is studied. First, a second order discretization for this derivative is presented and then an unconditionally stable weighted average finite difference method is derived. The stability of this scheme is established by von Neumann analysis. Some numerical results are shown, which demonstrate the efficiency and convergence of the method. Additionally, some physical properties of this fractional diffusion system are simulated, which further confirm the effectiveness of our method.

研究の動機と目的

• 無限領域における Riemann-Liouville 空間微分作用素を有する分数拡散方程式に対する2次精度の数値解法の開発。
• 非局所的 Riemann-Liouville 微分作用素に対して、しばしば1次精度の Grünwald-Letnikov スキームで近似されるが、その2次精度空間離散化の達成に挑戦すること。
• τ ∈ [1/2,1] の重み付き平均 τ-スキームを構築し、すべての τ ∈ [1/2,1] に対して無条件安定かつ τ = 1/2 の場合に2次精度を達成すること。
• 数値実験（収束解析および物理的シミュレーションを含む）を通じて、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 級数に基づく離散化（有限和ではなく）を用いて、α ∈ (1,2) の Riemann-Liouville 分数マクスウェル微分作用素に対する2次精度有限差分近似を導出する。
• 時間方向に重み付き平均スキーム（τ ∈ [1/2,1]）を採用し、Crank-Nicolson（τ = 1/2）および後退オイラー（τ = 1）法を含む。
• von Neumann 分析を用いてスキームの安定性を厳密に証明し、すべての τ ∈ [1/2,1] に対して無条件安定であることを確立した。
• Riemann-Liouville 微分作用素の非局所的積分形を的確に近似することで、空間離散化が2次精度を維持するように構築した。
• 初期値および無限遠方での減衰境界条件を満たす、変数係数拡散係数 d(x) と源項 p(x,t) を有する1次元分数拡散方程式に本スキームを適用した。
• 空間および時間方向に一様グリッドを用いた数値実装を行い、最終時刻における l∞ 範囲を用いて収束率および誤差を計算した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限領域における α ∈ (1,2) の Riemann-Liouville 分数マクスウェル微分作用素に対して、2次精度空間離散化を構築可能か？
• RQ2 時間積分に用いる重み付き平均 τ-スキーム（τ ∈ [1/2,1]）を、この2次精度空間離散化と組み合わせることで、無条件安定かつ2次精度の解法が得られるか？
• RQ3 シフトされた Grünwald-Letnikov 公式に基づく既存手法と比較して、本手法の精度および収束性はどのように優れているか？
• RQ4 本手法は、特に α → 2 に近づく際、異常なスーパー拡散の物理的ダイナミクスをどれほど正確に捉えることができるか？
• RQ5 τ ≠ 1/2 の場合の収束率は何か？理論的期待値 O(Δt + Δx²) と一致するか？

主な発見

• 理論的に証明されたように、提案された Riemann-Liouville 微分作用素の2次精度空間離散化は、2次一貫性を達成する。
• von Neumann 穏定性解析により、すべての τ ∈ [1/2,1] に対して、重み付き τ-スキームが無条件安定であることが確認された。
• τ = 1/2 の場合、時間および空間方向で2次精度を達成し、数値実験で観測された収束率は約2.0であった。
• グリッド解像度が同等の条件下で、シフトされた Grünwald-Letnikov 公式に基づく Crank-Nicolson スキームと比較して、絶対誤差が1桁以上低減した。
• ガウスパルスを初期条件とする初期値問題の数値シミュレーションでは、解がスーパー拡散に特徴的な長尾的挙動を示し、α → 2 に近づくにつれて非Fick的性質が弱まることが観測された。これは物理的期待と整合的であった。
• τ ≠ 1/2 の場合の収束率は、理論的予測 O(Δt + Δx²) に従い、Δt = Δx² のとき収束率が約2.0に近づくことが観測された。