[論文レビュー] A weighted finite element mass redistribution method for dynamic contact problems

Farshid Dabaghi, Pavel Krejčı́+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、動的接触問題における位相ずれと振動を解消し、エネルギー保存則を維持するための重み付き有限要素質量再分配法を提案する。接触ノードの質量を隣接ノードに再分配することで、位相ずれと振動を除去する。ハイブリッドスキームを用いることで、時間積分法が無条件安定かつ非散乱的となり、従来の手法よりも顕著に精度が向上する。

ABSTRACT

This paper deals with a one-dimensional wave equation being subjected to a unilateral boundary condition. An approximation of this problem combining the finite element and mass redistribution methods is proposed. The mass redistribution method is based on a redistribution of the body mass such that there is no inertia at the contact node and the mass of the contact node is redistributed on the other nodes. The convergence as well as an error estimate in time are proved. The analytical solution associated with a benchmark problem is introduced and it is compared to approximate solutions for different choices of mass redistribution. However some oscillations for the energy associated with approximate solutions obtained for the second order schemes can be observed after the impact. To overcome this difficulty, an new unconditionally stable and a very lightly dissipative scheme is proposed.

研究の動機と目的

• 接触ノードにおける質量削除によって生じる数値解における位相ずれと物理的に不自然な振動を解消すること。
• 全質量を保存し、人工的なエネルギー損失や増加を避ける質量再分配戦略の開発。
• 接触衝突 elastodynamic システムにおける時間積分法の無条件安定性と最小限の散乱を確保すること。
• Newmark や陰的エイラー法と比較して、位相誤差と振動を除去することで、従来の手法を上回る精度を実現すること。
• 数値実験を通じて、1次元問題における有効性を示し、2次元以上への一般化の有効性を検証すること。

提案手法

• 接触ノードの質量を隣接ノードに再分配することで、全系の質量を保存し、接触点での慣性を排除する。
• エネルギー保存則と適切な解の存在性を満たすために、修正された質量行列を用いた有限要素に基づく空間半離散化を採用する。
• Crank-Nicolson 法と中点法を組み合わせたハイブリッド時間積分スキームを提案し、無条件安定性と最小限のエネルギー散乱を達成する。
• Signorini 表面接触条件の下で、半離散化定式化の時間における収束性と誤差推定を確立する。
• 解析的で区分的線形かつ周期的な解を持つベンチマーク問題に適用し、妥当性を検証する。
• 数値実験を通じて、異なる再分配パターン（例：Mod 1：再分配なし、Mod 2：質量削除、Mod 3：隣接ノードへの再分配）の精度への影響を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触ノードの質量を隣接ノードに再分配することで、動的接触問題における解析解と数値解の間の位相ずれを解消できるか？
• RQ2 再分配対象となるノードの選定が、弾性動的接触シミュレーションにおける数値解の精度にどのように影響するか？
• RQ3 エネルギー振動を回避し、接触衝突系において高い精度を維持できる無条件安定な時間積分スキームを構築できるか？
• RQ4 提案手法が、接触界面における不自然な振動を除去しつつエネルギー保存則を保持できるか？
• RQ5 重み付き質量再分配法は、2次元弾性動力学のような高次元問題へも拡張可能で、有効であるか？

主な発見

• 重み付き質量再分配法により、従来の質量削除手法の主な欠点であった解析解と近似解の間の位相ずれが解消された。
• エネルギー保存則が維持され、接触境界における物理的に不自然な振動が防止され、Newmark や Paoli-Schatzman スキームを上回る性能を示した。
• ハイブリッド時間スキームにより、無条件安定性が保証され、エネルギーの変化がほぼゼロに抑えられ、陰的エイラー法に比べてエネルギー挙動が優れた結果を得た。
• 数値実験の結果、接触点の直前に位置するノードに質量を再分配する（Mod 3）と、誤差が最小となり、2次元において Δx = 0.05 時に総誤差率が 0.0038 にまで低下した。
• 半離散化において、適切な解の存在性と安定性が維持され、時間における収束性と誤差推定が証明された。
• 表1における2次元での良好な誤差率から、本手法がロバストで高次元問題への拡張が可能であることが示唆された。