[論文レビュー] A Weiszfeld-like algorithm for a Weber location problem constrained to a closed and convex set

G. Torres|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、閉かつ凸集合内の制約付きウェーバー配置問題に対するウェイツェルトに類似したアルゴリズムを提案する。反復点が頂点に到達しても収束を保証する。直交射影と修正されたウェイツェルト反復を組み合わせることで、実行可能で降下性を持つ反復列が生成され、KKT条件を満たす一意の解に収束する。数値実験では、標準的な非線形ソルバーを上回る性能を示した。

ABSTRACT

The Weber problem consists of finding a point in $\mathbbm{R}^n$ that minimizes the weighted sum of distances from $m$ points in $\mathbbm{R}^n$ that are not collinear. An application that motivated this problem is the optimal location of facilities in the 2-dimensional case. A classical method to solve the Weber problem, proposed by Weiszfeld in 1937, is based on a fixed point iteration. In this work a Weber problem constrained to a closed and convex set is considered. A Weiszfeld-like algorithm, well defined even when an iterate is a vertex, is presented. The iteration function $Q$ that defines the proposed algorithm, is based mainly on an orthogonal projection over the feasible set, combined with the iteration function of a modified Weiszfeld algorithm presented by Vardi and Zhang in 2001. It can be seen that the proposed algorithm generates a sequence of feasible iterates that have descent properties. Under certain hypotheses, the limit of this sequence satisfies the KKT optimality conditions, is a fixed point of the iteration function that defines the algorithm, and is the solution of the constrained minimization problem. Numerical experiments confirmed the theoretical results.

研究の動機と目的

• 反復点が頂点に到達する際に古典的ウェイツェルト法に見られる早期収束の問題を解消すること。
• 閉かつ凸集合に制約されたウェーバー問題に対する、ロバストで実行可能である反復的手法を開発すること。
• KKT条件を満たす最適解への降下性と収束を保証すること。
• 微分不可能性の問題を克服し、頂点に対しても定義が明確なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 内部点に対しては、修正されたウェイツェルト反復関数 T₀ を使用し、実行可能集合 Ω への直交射影で調整する。
• 反復点が頂点 aᵏ と一致する場合、T₀(aᵏ) と aᵏ を結ぶ直線上に新たな点を定義し、実行可能性を保証する。
• 射影と頂点処理の論理を統合した反復関数 Q を用い、すべての反復点が凸な実行可能集合内に留まるようにする。
• 目的関数値 f(x⁽ˡ⁾) の非増加列が保証され、x⁽ˡ⁾ ≠ Q(x⁽ˡ⁾) のときには厳密に減少する。
• アルゴリズムは Q の不動点に収束することが証明され、それは KKT 条件を満たす一意の解に対応する。
• 数値的妥当性評価として、MATLAB を用いて m=50 個の頂点とランダムな重みを用いた 1000 個のランダムなインスタンスに対して、fmincon と比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約付きウェーバー問題において、反復点が頂点に到達してもロバストなウェイツェルトに類似したアルゴリズムは構築可能か？
• RQ2 閉かつ凸集合に制約された場合、提案手法は降下性と実行可能性を維持できるか？
• RQ3 目的関数が頂点で微分不可能であっても、アルゴリズムは真の解に収束できるか？
• RQ4 fmincon などの標準的非線形プログラミングソルバーと比較して、提案手法の性能はいかがなっているか？
• RQ5 反復関数 Q の不動点は、与えられた制約下で KKT 解と同等か？

主な発見

• 提案手法は、実行可能で降下性を持つ反復点の列を生成し、最適解への収束を保証する。
• 反復点が正確に頂点に到達しても、アルゴリズムが定義され、古典的ウェイツェルト法の停滞問題を回避する。
• 制約付きウェーバー問題の一意の解は KKT 条件を満たし、反復関数 Q の不動点である。
• 1000回の数値実験において、提案手法はすべてのケースで fmincon と同等または優れた解を発見し、35例では差が 0.01 を上回った。
• アルゴリズムの性能優位性は、勾配に基づく手法に依存せずに頂点での微分不可能性を適切に処理できる点に起因する。