[論文レビュー] A worldsheet extension of O(d,d;Z)

Constantin P. Bachas, Ilka Brunner+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 48被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、トーラス上の $\mathcal{N}=(1,1)$ スーパーシュワーリング・シグマ・モデルにおける $O(d,d;\mathbb{Q})$ 対称性の半群拡張のワールドシート実現を導入し、トポロジカルなインターフェースおよびスーパーレイフォーマル・デフェクトが $\widehat{u}(1)^{2d}$ カレント代数を保存することを示している。これらのデフェクトは一般化された T-双対性として作用する。主な結果は、これらのインターフェースの融合が、ラムオン荷重上の幾何的整数変換の合成に対応し、有効ストリング結合定数を $\sqrt{\mathrm{ind}(\hat{\Lambda})}$ 倍することである。これは、可逆でない $\alpha'$-正確な半群としての準対称性へのフーリエ＝ムカイ双対性の一般化である。

ABSTRACT

We study superconformal interfaces between N=(1,1) supersymmetric sigma models on tori, which preserve a u(1)^{2d} current algebra. Their fusion is non-singular and, using parallel transport on CFT deformation space, it can be reduced to fusion of defect lines in a single torus model. We show that the latter is described by a semi-group extension of O(d,d;Q), and that (on the level of Ramond charges) fusion of interfaces agrees with composition of associated geometric integral transformations. This generalizes the well-known fact that T-duality can be geometrically represented by Fourier-Mukai transformations. Interestingly, we find that the topological interfaces between torus models form the same semi-group upon fusion. We argue that this semi-group of orbifold equivalences can be regarded as the α' deformation of the continuous O(d,d) symmetry of classical supergravity.

研究の動機と目的

• トーラス上の弦の compactification における既知の $O(d,d;\mathbb{Z})$ T-双対性対称性を、$\alpha'$ のすべての次数で有効である、より広いクラスの対称性へ拡張すること。
• $\mathcal{N}=(1,1)$ スーパーシュワーリング・トーラス・モデル間のスーパーレイフォーマルインターフェースの融合性質を、$\widehat{u}(1)^{2d}$ カレント代数を保存するものとして理解すること。
• このようなインターフェースの融合が、逆元を持たない有理的 $O(d,d)$ 変換のため、群ではなく $O(d,d;\mathbb{Q})$ の半群拡張を形成することを示すこと。
• インターフェースの融合とラムオン荷重上の幾何的整数変換の間の対応関係を確立し、フーリエ＝ムカイ双対性を一般化すること。
• この半群が、超重力の古典的 $O(d,d;\mathbb{R})$ 対称性の $\alpha'$-変形であることを特定すること。ワールドシート上のトポロジカルなインターフェースを通じて実現される。

提案手法

• $\widehat{u}(1)^{2d}$ カレント代数を保存する $\mathcal{N}=(1,1)$ トーラス・シグマ・モデル間のスーパーレイフォーマルインターフェースを、 conformal field theory の技法を用いて分析する。
• CFT の変形空間に沿った平行移動を適用し、異なるモデル間のインターフェースの融合を、1つの基準となるトーラス・モデル内のデフェクトの融合に還元する。
• これらのデフェクトの融合代数を、非自明なインデックス $K = \mathrm{ind}(\hat{\Lambda})$ を持つ有理的 $O(d,d)$ 行列からなる $O(d,d;\mathbb{Q})$ の半群拡張として特定する。
• 有限部分のカシミールエネルギーを用いて融合積の $g$-因子を計算し、カーディの整合性条件と整合する。
• $O(d,d)$ 変換の格子双対性および体積保存性を用いて、 $|\Gamma^{\Lambda}| \cdot |\Lambda^{-1}\Gamma^{\Lambda'}| = |\Gamma^{\Lambda'\Lambda}| \cdot |\Gamma^{\Lambda' \odot \Lambda}|$ という恒等式を証明し、融合の整合性に不可欠な役割を果たす。
• 変換が有効ストリング結合定数を $\lambda_{\rm eff} \mapsto \lambda_{\rm eff} \sqrt{\mathrm{ind}(\hat{\Lambda})}$ にスケーリングすることを確立し、$\mathrm{ind}(\hat{\Lambda})$ は保存される荷重部分格子のインデックスである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{N}=(1,1)$ トーラス・モデル間のスーパーレイフォーマルインターフェースの融合はどのように振る舞い、どのような代数的構造を形成するか？
• RQ2 $O(d,d;\mathbb{Z})$ T-双対性対称性は、$\alpha'$ のすべての次数で有効な、可逆でない構造へ一般化可能か？
• RQ3 $\lambda_{\rm eff} \mapsto \lambda_{\rm eff} \sqrt{\mathrm{ind}(\hat{\Lambda})}$ の結合定数スケーリングにおける $\mathrm{ind}(\hat{\Lambda})$ 要素の幾何的・物理的解釈は何か？
• RQ4 これらのインターフェースはフーリエ＝ムカイ変換とどのように関係し、$O(d,d;\mathbb{Z})$ 要素の可逆性を超えて双対性は一般化可能か？
• RQ5 得られるインターフェースの半群は、超重力の古典的 $O(d,d;\mathbb{R})$ 対称性の量子的変形であるか？

主な発見

• $\mathcal{N}=(1,1)$ トーラス・モデル間のトポロジカルインターフェースの融合は、逆元を持たない有理的 $O(d,d)$ 変換のため、群ではなく $O(d,d;\mathbb{Q})$ の半群拡張を形成する。
• 融合プロセスは、変換によって保存される部分格子のインデックス $\mathrm{ind}(\hat{\Lambda})$ に比例して有効ストリング結合定数を $\sqrt{\mathrm{ind}(\hat{\Lambda})}$ 倍する。
• インターフェースの融合は、ラムオン荷重上の幾何的整数変換の合成に正確に対応し、$O(d,d;\mathbb{Z})$ の場合に知られているフーリエ＝ムカイ双対性を一般化する。
• トポロジカルインターフェースの半群は、トーラス・モデル間のオルビフォールド同値関係の半群と同型であり、普遍的なデフェクト代数を示唆する。
• 融合代数の構造は、双対格子および体積比を含む格子恒等式を用いて導出され、融合則の整合性を証明する。
• 結果は、古典的超重力の $O(d,d;\mathbb{R})$ 対称性が、量子的レベルでワールドシート上のトポロジカルインターフェースを通じて $\alpha'$-正確な半群対称性へ変形されることを示唆している。