[論文レビュー] A Wronskian Approach to the real τ-conjecture

Pascal Koiran, Natacha Portier+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|May 4, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スパースな一変数多項式の積の和の実根の個数を評価するためのワロンスキー式に基づくアプローチを提示する。この手法により、tに関する多項式的、kに関する準多項式的、mに関する指数的上界が得られる。本研究は、実τ予想の重要なケースを解消し、kに関する二重指数的依存性を排除した。また、同クラスの多項式に対して、先行研究より複雑性が改善された決定的多項式恒等式テスト（PIT）アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

According to the real τ-conjecture, the number of real roots of a sum of products of sparse polynomials should be polynomially bounded in the size of such an expression. It is known that this conjecture implies a superpolynomial lower bound on the arithmetic circuit complexity of the permanent. In this paper, we use the Wronksian determinant to give an upper bound on the number of real roots of sums of products of sparse polynomials. The proof technique is quite versatile; it can in particular be applied to some sparse geometric problems that do not originate from arithmetic circuit complexity. The paper should therefore be of interest to researchers from these two communities (complexity theory and sparse polynomial systems).

研究の動機と目的

• スパースな一変数多項式の積の和の実根の個数を、実τ予想に取り組む形で評価すること。
• kとmに関する従来の指数的および二重指数的上界を改善し、実根の個数に対してt^{O(k²m)}の上界を達成すること。
• 同クラスの多項式に対して、kとmの依存性を低減させた決定的多項式恒等式テスト（PIT）アルゴリズムを開発すること。
• ワロンスキー式およびデカルトの符号法則の手法を、算術回路複雑性の範囲を超えて、スパースな幾何的問題へ応用可能にする。
• 根の上界が定数のオーダーで最適であることを、構成により示すこと。

提案手法

• 関数f^{α_i + k}のワロンスキー行列式を用いて、スパース多項式のべきの和の線形従属性および根構造を分析する。
• t-スパース多項式（実指数をもつ）の正の実根の個数を、t−1で上界付けるために、デカルトの符号法則の弱い形を適用する。
• ロルの定理および中間値定理を用いて、多くの根を持つ例を構成し、上界のタイトさを示す。
• ワロンスキー式の消滅がf f′の零点に関連することを示す重要な補題を導入し、臨界点の個数を制御する。
• hが多数の根を持つ関数g = h ∘ fの合成を用いて、多くの実根を持つ多項式を構成する。
• ワロンスキー解析と根数え上げ、係数評価を組み合わせることで、決定的PITアルゴリズムを構築し、kとmにのみ指数的依存性を有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース多項式の積の和の実根の個数は、tに関して多項式的、kに関して準多項式的、mに関して指数的依存性をもって上界付けられるか？
• RQ2 ワロンスキー行列式は、スパース多項式のべきの和における実根の個数を制御するのに十分な道具か？
• RQ3 kに関して二重指数的依存性から単一指数的依存性への改善が可能か？これは、パーマネントの回路複雑性への帰結を満たすために必要である。
• RQ4 このクラスの多項式に対して、tに関して多項式的、kとmに関して指数的複雑性をもつ決定的多項式恒等式テスト（PIT）アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 ワロンスキー式に基づくアプローチは、算術回路複雑性を超えてスパースな幾何的問題へ一般化可能か？

主な発見

• ∑_{i=1}^k ∏_{j=1}^m f_j^{α_{i,j}} の形の和の実根の個数は、t^{O(k²m)}で上界付けられ、従来のkに関する二重指数的依存性が排除された。
• 上界はtに関して多項式的、mに関して指数的、kに関して準多項式的であり、従来の結果に比べ顕著な改善を示す。
• 実行時間tに関して多項式的、係数および指数のビットサイズに関して多項式的、kとmに関して指数的である決定的多項式恒等式テスト（PIT）アルゴリズムが開発された。
• 本稿では、ワロンスキー式に基づく根の上界が定数のオーダーで最適であることを証明した。構成により、あるgに対してZ(g) ≥ (|ϒ| + 1)(k − 1) + Z(f)が成り立つことを示した。
• 手法は非整数指数へも拡張可能であり、実数α_i, β_iをもつ関数∑_{i=1}^k x^{α_i}(ax + b)^{β_i}の広いクラスに対しても多項式的上界を与える。
• 本手法により、弱いデカルトの符号法則の別証明が得られ、アベンダーニョのスパース曲線と直線の交点に関する結果が一般化された。