[論文レビュー] A Yaglom type asymptotic result for subcritical branching Brownian motion with absorption

Jiaqi Liu|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、吸収付きのやや亜臨界的な分岐 Browm運動に対して、Yaglom 型の漸近的結果を確立し、臨界性に近づくに従いドリフトが臨界値に近づくにつれて、生存確率条件下での粒子数の期待値が指数関数的に増加することを示している。脊髄分解とマルティンゲール解析を用いて、ε → 0 のとき exp(Θ(1/√ε)) のスケーリングを示している。ここで ε は臨界性からの距離を測る。

ABSTRACT

We consider a slightly subcritical branching Brownian motion with absorption, where particles move as Brownian motions with drift $-\sqrt{2+2\varepsilon}$, undergo dyadic fission at rate $1$, and are killed when they reach the origin. We obtain a Yaglom type asymptotic result, showing that the long run expected number of particles conditioned on survival grows exponentially as $1/\sqrt{\varepsilon}$ as the process approaches criticality.

研究の動機と目的

• 大時間にわたる生存を条件とした、亜臨界的な分岐 Browm 運動における粒子数の期待値の漸近的挙動を分析すること。
• ドリフト値 √2 から上側に近づくに従い、この条件付き期待値がどのように発散するかを理解すること。
• 近臨界的な領域における生存時間条件下の期待値の増加率に対する鋭い指数的バインドを導出すること。
• 臨界性に近づくに従い、生存粒子数の期待値に対する Yaglom 型の極限に対する厳密なバインドを確立すること。

提案手法

• 生存確率を、粒子の重み付き位置を追跡するマルティンゲール V(t) を含む期待値に変換する脊髄分解を採用する。
• Radon-Nikodym 導来関数 V(t)/V(0) を用いて新たな測度 Qx を定義し、この下で脊髄粒子が Bessel-3 確率過程に従うようにする。
• Qx の下で、全重みの逆数 ∑u Yu(t)e^{ρYu(t)} を分析し、Kε を特徴づけ、したがって条件付き期待値を特徴づける。
• 時間反転 Bessel ブリッジとスケーリング極限を用いて、粒子位置の尾部挙動を制御し、Qx 期待値のバインドを導出する。
• Bessel 確率過程における大偏差推定と繰り返し対数法則を用いて、脊髄粒子が通常の経路から逸脱するような稀な事象を制御する。
• Qx[1/∑u Yu(t)e^{ρYu(t)}] の推定を通じて、生存確率の上界と下界を確立し、1/√ε における指数的バインドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト ρ が √2 に上側から近づくにつれて、生存を条件とした粒子数の期待値はどのように振る舞うか？
• RQ2 近臨界的領域における条件付き期待値の正確な指数的増加率は何か？
• RQ3 通常よりもはるかに多くの粒子が生存するような稀な事象は、生存者数の期待値にどのように影響を与えるか？
• RQ4 マルティンゲールおよび脊髄技術を用いて、やや亜臨的な領域における生存確率をバインドできるか？
• RQ5 脊髄粒子の経路が、生存確率の漸近的挙動を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• ε → 0 のとき、生存を条件とした長期的期待粒子数は exp(Θ(1/√ε)) のように増加する。ここで ε = ρ²/2 − 1 であり、ρ = √2 + 2ε である。
• 正の定数 C1 と C2 が存在し、lim_{t→∞} E^x_−ρ[N^−ρ_t | N^−ρ_t > 0] が exp(C1/√ε) と exp(C2/√ε) の間で有界である。
• 生存確率の漸近的挙動は Kε によって特徴づけられ、Kε ∼ √(2πt³) / (E^x_−ρ[N^−ρ_t] e^{−εt + ρx}) が t → ∞ のとき成り立つ。
• 証明は、生存確率をマルティンゲールの逆数を含む期待値に書き換える脊髄分解に依存している。
• 条件付き期待値の上界と下界は、脊髄の経路を分析し、Bessel ブリッジ推定を用いて逸脱を制御することで導出された。
• 解析により、期待値は脊髄粒子が狭い領域に留まるような稀な経路によって支配されており、通常の実現では期待値が示すよりもはるかに少ない粒子数が観測されることが示された。