[論文レビュー] A Yang-Baxter equation for metaplectic ice

Ben Brubaker, Valentin Buciumas+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 31被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、メタプレクティック・アイス模型の背後にある量子群構造を、Drinfeld変換を施した量子アフィン超代数 $ U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(1|n)) $ として同定することにより、メタプレクティック・アイス模型のためのヤン・バクスター方程式を確立した。これらの模型の分配関数は、メタプレクティック・ホイットAKER関数として実現される。主な結果は、ホイットAKER関数への単純な反転作用素の散乱行列が、$ U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(n)) $ の変換付き $ R $-行列と一致することであり、これにより、可解格子模型を通じてメタプレクティック表現論と量子群が結びつけられる。

ABSTRACT

We will give new applications of quantum groups to the study of spherical Whittaker functions on the metaplectic $n$-fold cover of $GL(r,F)$, where $F$ is a nonarchimedean local field. Earlier Brubaker, Bump, Friedberg, Chinta and Gunnells had shown that these Whittaker functions can be identified with the partition functions of statistical mechanical systems. They postulated that a Yang-Baxter equation underlies the properties of these Whittaker functions. We confirm this, and identify the corresponding Yang-Baxter equation with that of the quantum affine Lie superalgebra $U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(1|n))$, modified by Drinfeld twisting to introduce Gauss sums. (The deformation parameter $v$ is specialized to the inverse of the residue field cardinality.) For principal series representations of metaplectic groups, the Whittaker models are not unique. The scattering matrix for the standard intertwining operators is vector valued. For a simple reflection, it was computed by Kazhdan and Patterson, who applied it to generalized theta series. We will show that the scattering matrix on the space of Whittaker functions for a simple reflection coincides with the twisted $R$-matrix of the quantum group $U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(n))$. This is a piece of the twisted $R$-matrix for $U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(1|n))$, mentioned above.

研究の動機と目的

• 非アーチメデス的局所体 $ F $ の $ \mathrm{GL}(r,F) $ の $ n $ 重被覆におけるメタプレクティック・ホイットAKER関数の背後にあるヤン・バクスター方程式を確立すること。
• 長年の予想である、ヤン・バクスター可積分性を持つ可解格子模型が、これらのホイットAKER関数を支配することを解決すること。
• メタプレクティック・ホイットAKER関数の関数的相互作用の散乱行列を支配する量子群を同定すること。
• 単純な反転作用素の散乱行列が、ガウス和を含むドリンフェルト変換を経て得られる量子アフィン $ \mathfrak{gl}(n) $ の変換付き $ R $-行列と一致することを示すこと。
• 量子群構造を用いてメタプレクティック群の表現論を統一するため、$ \mathfrak{gl}(n) $ を $ \mathfrak{gl}(1|n) $ に埋め込むこと。

提案手法

• 分配関数が球的メタプレクティック・ホイットAKER関数に一致する、場依存のボルツマン重みを持つ可解格子模型（一般化六頂点模型）を構築する。
• ドリンフェルト変換による量子アフィン超代数 $ U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(1|n)) $ の変換を経て、ガウス和を含む修正ボルツマン重みを導入する。
• 可解性を支配するヤン・バクスター方程式の解として、$ U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(1|n)) $ の $ R $-行列を同定する。
• $ \mathfrak{gl}(n) \subset \mathfrak{gl}(1|n) $ の包含関係を用いて、$ U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(n)) $ の $ R $-行列を抽出し、これが関数的相互作用の散乱行列を支配することを示す。
• ホイットAKER関数への関数的相互作用の作用が、アイス模型におけるパラメータ $ z_i $ と $ z_{i+1} $ の交換に対応することを確認し、$ R $-行列がその変換を符号化することを示す。
• ヤン・バクスター関係を用いて、ホイットAKER関数の関数方程式を分配関数の等式として確立し、Weyl群多重ディリクレ級数の解析接続および関数方程式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathrm{GL}(r,F) $ の $ n $ 重被覆におけるメタプレクティック・ホイットAKER関数を計算する分配関数を持つ可解格子模型が存在するか？
• RQ2 ガウス和が関与する場合に、このような模型のヤン・バクスター方程式の背後にある量子群構造は何か？
• RQ3 メタプレクティック・ホイットAKER関数の関数的相互作用の散乱行列は、量子群の $ R $-行列とどのように関係するか？
• RQ4 統計力学における分配関数の恒等式から、メタプレクティック・ホイットAKER関数の関数方程式を導出可能か？
• RQ5 カジダン＝パテラソンの散乱行列にガウス和の項を含む量子群的解釈は可能か？

主な発見

• 修正された重みを持つ提案モデルの分配関数は、$ \mathrm{GL}(r,F) $ の $ n $ 重メタプレクティック被覆上の球的ホイットAKER関数に一致し、メタプレクティック・アイスのための可解模型の存在を確認した。
• この模型のヤン・バクスター方程式は、$ v $ が残渣体の元の個数の逆数に特殊化された、ドリンフェルト変換を施した量子アフィン超代数 $ U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(1|n)) $ によって支配される。
• ホイットAKER関数の関数的相互作用における単純な反転作用素の散乱行列は、$ U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(n)) $ の変換付き $ R $-行列と同定され、これは $ U_{\sqrt{v}}(\widehat{\mathfrak{gl}}(1|n)) $ の $ R $-行列の部分構造である。
• $ \overline{\mathcal{A}}_{s_i} $ のホイットAKER関数への作用は、アイス模型においてパラメータ $ z_i $ と $ z_{i+1} $ の交換として幾何的に実現され、$ R $-行列がその変換を符号化する。
• ホイットAKER関数の関数方程式、特にWeyl群多重ディリクレ級数の関数方程式は、分配関数の等式として解釈され、長大な代数的手法で既に示された結果の短い証明を可能にした。
• 二つのメタプレクティック・ホイットAKER関数の公式の等価性は、分配関数の恒等式として実現され、ヤン・バクスター手法が複雑な数論的恒等式を単純化する力を持っていることを示した。