[論文レビュー] Abelian categories and definable additive categories

Mike Prest|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 41被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、単純に小さなアーベル圏と正確な函手を備えた2-圏、解釈函手を備えた定義可能加法的圏、および同調的射を備えた局所的同調グロテンディーク圏の間で、深い同値関係を確立する。すべての局所的同調グロテンディーク圏が十分な点を持つことを証明し、古典的なガブリエル–ポプロスキーの定理を一般化するとともに、関手の点の観点から、モデル理論的定義可能圏と幾何的構造を結びつける。

ABSTRACT

We consider three (2-)categories and their (anti-)equivalence. They are the category of small abelian categories and exact functors, the category of definable additive categories and interpretation functors, the category of locally coherent abelian categories and coherent morphisms. These categories link algebra, model theory and "geometry".

研究の動機と目的

• 単純に小さなアーベル圏と正確な函手を備えた2-圏、定義可能加法的圏と解釈函手を備えた2-圏、および局所的同調グロテンディーク圏と同調的射を備えた2-圏の間のカテゴリカル同値関係を確立し、探求する。
• モデル理論（定義可能圏を通じて）、ホモロジー代数（アーベル圏を通じて）、代数幾何（グロテンディーク圏と点を通じて）の間の関係を明確にする。
• すべての局所的同調グロテンディーク圏が幾何的に十分な点を持つことを示す。これは、同調トポスに関する古典的結果を一般化する。
• 局所的同調圏における点の関手の点の解釈を提供し、それらを整数環や体への射に結びつける。

提案手法

• 小さなアーベル圏の2-圏と定義可能加法的圏の2-圏の間の（反）同値を、各小さなアーベル圏にアーベル群への正確な函手の圏を割り当てる函手 Ex(−, Ab) を通して確立する。
• ヤオダ埋め込みとInd-完備化を用いて、小さなアーベル圏を、局所的同調グロテンディーク圏における有限生成対象として実現する。これは Lex(A^op, Ab) を通じて達成される。
• pp-定義可能な写像の理論とモデル理論的実現を用いて、局所的同調圏内の異なる射が、定義可能圏内のモデルにおける評価によって区別できることを示す。
• エル・バシールの定理（随伴函手定理における解集合条件の存在）を用いて、グロテンディーク圏からAbへの余限大を保存する正確な函手が右随伴を持つことを検証する。
• グロテンディーク圏間の射としてのα-同調的射の概念を導入する。ここで、α-同調的射とは、引き戻しによって<α-生成対象を保存する射を指す。そして、すべてのグロテンディーク圏間の正確な左随伴函手が、ある正則基数αに対してα-同調的であることを示す。
• インデコンポジタブル内積に沿ったザリスキ位相を用いて、グロテンディーク圏に関連するアーベル的空間への射O_Zからなる、環付き空間の射としての幾何的点の解釈を発展させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純に小さなアーベル圏、定義可能加法的圏、局所的同調グロテンディーク圏の2-圏は、(反)同値を通じてどのように関係しているか？
• RQ2 グロテンディーク圏における「点」の概念は、モデル理論的および幾何的に特徴づけられるか。同調トポスに関する古典的結果を一般化できるか？
• RQ3 Ex(A, Ab)函手は、小さなアーベル圏と定義可能圏、およびグロテンディーク圏を結ぶ上で果たす役割は何か？
• RQ4 定義可能圏間の解釈函手は、(反)同値の下で、小さなアーベル圏間の正確な函手に対応するか？
• RQ5 特にO_ZやO_kからの射を通じて、局所的同調圏の幾何的構造は、その点から再構成可能か？

主な発見

• 単純に小さなアーベル圏と正確な函手を備えた2-圏と、定義可能加法的圏と解釈函手を備えた2-圏の間には、函手 Ex(−, Ab) を介して完全な（反）同値関係が存在する。
• すべての局所的同調グロテンディーク圏は十分な点を持つ。すなわち、任意の異なる平行な射に対して、それらを区別する幾何的点（Abへの余限大を保存する正確な函手）が存在する。
• 局所的同調グロテンディーク圏における有限生成対象の圏は、ヤオダ埋め込みを通じて小さなアーベル圏の像として得られ、かつこの圏は元のアーベル圏のInd-完備化と同値である。
• エール・バシールの定理により、グロテンディーク圏からAbへの余限大を保存する正確な函手が右随伴を持つことが保証され、解集合条件が満たされていることが保証される。
• すべてのグロテンディーク圏間の正確な左随伴函手は、ある正則基数αに対してα-同調的である。これは、<α-生成対象を保存することを意味する。
• 局所的同調圏の幾何的点は、インデコンポジタブル内積とザリスキ位相を用いて構築された空間への、アーベル的空間への射O_Zからなる環付き空間の射として対応する。