[論文レビュー] Abelian Chern-Simons theory with toral gauge group, modular tensor categories, and group categories

Spencer D. Stirling|ArXiv.org|Jul 17, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 50被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、トーラルゲージ群 $\mathrm{U}(1)^N$ を持つアーベル Chern-Simons 理論と、有限アーベル群に二次形式および双線形対合を備えたモジュラーテンソルカテゴリの間の対応を確立する。群カテゴリにねじれのある結合則と braiding を用いて、量子トーラル Chern-Simons 理論から得られる写像類群の射影表現が、関連するモジュラーテンソルカテゴリから導かれるものと同型であることを証明し、これらの TQFT のカテゴリカルな分類を完成させる。

ABSTRACT

Classical and quantum Chern-Simons with gauge group $ ext{U}(1)^N$ were classified by Belov and Moore in \cite{belov_moore}. They studied both ordinary topological quantum field theories as well as spin theories. On the other hand a correspondence is well known between ordinary $(2+1)$-dimensional TQFTs and modular tensor categories. We study group categories and extend them slightly to produce modular tensor categories that correspond to toral Chern-Simons. Group categories have been widely studied in other contexts in the literature \cite{frolich_kerler},\cite{quinn},\cite{joyal_street},\cite{eno},\cite{dgno}. The main result is a proof that the associated projective representation of the mapping class group is isomorphic to the one from toral Chern-Simons. We also remark on an algebraic theorem of Nikulin that is used in this paper.

研究の動機と目的

• トーラルゲージ群 $\mathrm{U}(1)^N$ を持つアーベル Chern-Simons 理論をモジュラーテンソルカテゴリの観点から分類すること。
• 有限アーベル群 $\mathcal{D}$ に二次形式 $q:\mathcal{D} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ と符号不変量 $c \in \mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ を備えたモジュラーテンソルカテゴリを構成すること。
• 量子トーラル Chern-Simons 理論から得られる写像類群の射影表現が、構成されたモジュラーテンソルカテゴリから得られるものと完全に一致することを証明すること。
• 偶数格子と二次形式の文脈においてニコリンの上昇定理の役割を明確にし、反例を用いてその限界を示すこと。

提案手法

• 二次形式 $q$ から導かれるねじれ付き結合則と braiding を持つ $\mathcal{D}$-階層付きベクトル空間のカテゴリ $\mathscr{C}_{(\mathcal{D},q)}$ を構成する。
• 双線形形式 $b(x,y) = q(x+y) - q(x) - q(y) + q(0)$ を用いて $\mathscr{C}_{(\mathcal{D},q)}$ 上にbraided monoidal 構造を定義し、群構造と整合性を持つようにする。
• $q$ が非退化でガウス和の条件を満たすとき、$\mathscr{C}_{(\mathcal{D},q)}$ がモジュラーテンソルカテゴリであることを証明する。
• Chern-Simons 理論から得られる写像類群 $\mathrm{MCG}(\Sigma)$ の射影表現と、モジュラーテンソルカテゴリから得られるものとの間の同型を、表現行列の明示的計算により確立する。
• ニコリンの定理（二次形式の偶数格子への上昇）を用いて、このような上昇の障害を分析し、ガウス和の条件が偶数格子に上昇しない反例を構成する。
• ガウス和の公式 $\frac{1\sqrt{|\mathcal{D}|}} \sum_{x \in \mathcal{D}} e^{2\pi i q(x)} = e^{2\pi i \cdot C/8}$ が、判別形式の符号 $C \mod 8$ を正しく決定することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ群 $\mathrm{U}(1)^N$ を持つアーベル Chern-Simons 理論に対応するモジュラーテンソルカテゴリは何か？
• RQ2 ねじれ付き結合則と braiding を持つ群カテゴリを用いて、トーラル Chern-Simons 理論をモデル化するモジュラーテンソルカテゴリをどのように構成できるか？
• RQ3 Chern-Simons 理論から得られる写像類群の射影表現は、モジュラーテンソルカテゴリから得られるものと同型か？
• RQ4 有限アーベル群上の一般化された二次形式が偶数格子に上昇する条件は何か？
• RQ5 ニコリンの上昇定理の文脈において、ガウス和が判別形式の符号を決定する役割は何か？

主な発見

• 量子トーラル Chern-Simons 理論から得られる写像類群 $\mathrm{MCG}(\Sigma)$ の射影表現が、モジュラーテンソルカテゴリ $\mathscr{C}_{(\mathcal{D},q)}$ から得られるものと同型であることが示され、完全なカテゴリカルな対応が確立された。
• $\mathbb{Z}_4$ 上の一般化された二次形式 $q$ に対して反例を構成した。$q(0) = 0$ を満たすが純粋ではない。関連するガウス和は 1 に等しく、$C \equiv 0 \mod 8$ を意味するが、このような形式は偶数格子に上昇できない。
• ガウス和の公式 $\frac{1}{\sqrt{|\mathcal{D}|}} \sum_{x \in \mathcal{D}} e^{2\pi i q(x)} = e^{2\pi i C/8}$ は、判別形式の符号 $C \mod 8$ を正しく計算する。
• $\mathbb{Z}_4$ 上の双線形形式 $b(1/4,1/4) = 1/4$ に対して、純粋な二次形式の修正はたった2通りしかない。ガウス和から得られる $C \equiv 1$ または $5 \mod 8$ であり、仮想的な偶数格子への上昇に必要な $C \equiv 0 \mod 8$ とは矛盾する。
• 元の二次形式が偶数格子に上昇しないことから、$q(nx) = n^2 q(x)$ という条件が上昇のためには必須であり、ガウス和の条件だけでは十分でないことが示された。
• 本稿は、$c \in \mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ を備えたデータ $(\mathcal{D}, q, c)$ が量子トーラル Chern-Simons 理論を完全に分類することを確認した。また、関連するモジュラーテンソルカテゴリが、すべてのトポロジカルなデータを完全に捉えている。