[論文レビュー] Abelian extensions of infinite-dimensional Lie groups

Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|Feb 18, 2004

Advanced Topology and Set Theory参考文献 46被引用数 43

ひとこと要約

本稿では、局所凸空間に倣う無限次元リー群のアーベル拡大のためのコホロジー的枠組みを構築し、局所滑らかコチェインを用いて $ H^2_s(G,A) $ というコホモロジー群を導入する。群コホモロジーとリー代数コホモロジーを結ぶ正確な系列を確立し、周期的およびフラックス準同型を用いて統合性の障害を特徴づける。応用例として微分同相群や主 bundle などの幾何構造が含まれる。

ABSTRACT

In the present paper we study abelian extensions of connected Lie groups $G$ modeled on locally convex spaces by smooth $G$-modules $A$. We parametrize the extension classes by a suitable cohomology group $H^2_s(G,A)$ defined by locally smooth cochains and construct an exact sequence that describes the difference between $H^2_s(G,A)$ and the corresponding continuous Lie algebra cohomology space $H^2_c(\g,\a)$. The obstructions for the integrability of a Lie algebra extensions to a Lie group extension are described in terms of period and flux homomorphisms. We also characterize the extensions with global smooth sections resp. those given by global smooth cocycles. Finally we apply the general theory to extensions of several types of diffeomorphism groups.

研究の動機と目的

• 局所凸空間に倣う連結リー群のアーベル拡大のコホロロジー的分類を構築すること。
• 滑らかな $ G $-加群 $ A $ を用いて、局所滑らかコチェインを用いてコホモロジー群 $ H^2_s(G,A) $ を定義し、その性質を調べること。
• リー代数拡大がグローバルなリー群拡大に統合可能かどうかを特定するための周期的およびフラックス準同型を用いて、障害を特徴づけること。
• グローバルな滑らかな切断をもつ拡大、あるいはグローバルな滑らかなコチェインから生じる拡大を特徴づけること。
• 理論を微分同相群および主 bundle や前量子化などの幾何構造に応用すること。

提案手法

• 局所滑らかコチェインを用いて、リー群のアーベル拡大を分類するためのコホモロジー群 $ H^2_s(G,A) $ を導入する。
• 群 $ H^2_s(G,A) $ と連続リー代数コホモロジー $ H^2_c(\frak{g},\frak{a}) $ を結ぶ正確な系列を構成する。
• リー代数拡大がリー群拡大に統合可能かどうかを特徴づけるために、周期的およびフラックス準同型を定義する。
• 群コチェインのカップ積構造 $ C^p_s(G,U) \times C^q_s(G,V) \to C^{p+q}_s(G,W) $ を用いて、コホモロジー上への積を定義する。
• 微分写像 $ D $ を通じて、群コホモロジーとリー代数コホモロジーの整合性を確立し、$ D(\alpha \cup \beta) = D\alpha \wedge D\beta $ を示す。
• 具体的な例、特に多様体の微分同相群および $ \lambda $-密度モジュールを含む、理論を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元リー群のアーベル拡大はどのようにコホモロジーを用いて分類できるか？
• RQ2 滑らかな群コホモロジー $ H^2_s(G,A) $ と連続リー代数コホモロジー $ H^2_c(\frak{g},\frak{a}) $ の関係は何か？
• RQ3 リー代数拡大がリー群拡大に統合できない障害は何か？
• RQ4 アーベル拡大がグローバルな滑らかな切断をもつ、あるいはグローバルな滑らかなコチェインから生じる条件は何か？
• RQ5 この理論はどのように微分同相群や主 bundle などの幾何構造に応用できるか？

主な発見

• コホモロジー群 $ H^2_s(G,A) $ は、局所滑らかコチェインを用いて、滑らかな $ G $-加群 $ A $ を用いたリー群 $ G $ のアーベル拡大をパrametrizeする。
• 群コホモロジー $ H^2_s(G,A) $ と連続リー代数コホモロジー $ H^2_c(\frak{g},\frak{a}) $ を結ぶ正確な系列が構成され、群的拡大と代数的拡大の違いを明確にする。
• リー代数拡大がリー群拡大に統合可能かどうかの障害は、周期的およびフラックス準同型によって特徴づけられ、これらがすべて 0 であることはかつてその拡大が統合可能であることと同値である。
• グローバルな滑らかな切断をもつ拡大は、ちょうどグローバルな滑らかなコチェインから生じる拡大と一致し、これによりコホモロジー的特徴づけが得られる。
• 群コチェイン上のカップ積は、コホモロジー上に整合的な積を誘導し、微分写像の下でリー代数のカップ積と整合する。
• 理論は微分同相群に応用され、体積保存型微分同相群や $ \lambda $-密度モジュールを伴う円周の微分同相群を含み、幾何的に意味のある拡大が得られる。