[論文レビュー] Abelian $n$-division fields of elliptic curves and Brauer groups of product Kummer & abelian surfaces

Anthony Várilly‐Alvarado, Bianca Viray|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特定のK3およびアーベル・サーフェスのブラウアー群を代数的クラスで割ったものにおける奇数 torsion の有限性と、非CM楕円曲線のアーベル的n-分割体の次数に対する一様な上限の存在との間に深い関係を確立する。この論文は、このような上限が非CM楕円曲線がアーベル的n-分割体を持つようなnに対する一様な上限と同値であることを証明し、さらに固定されたNéron–Severi格子の判別式に対して、BrY/Br₁Y が一様に有界であることを示している。

ABSTRACT

Let $Y$ be a principal homogeneous space of an abelian surface, or a K3 surface, over a finitely generated extension of $\mathbb{Q}$ . In 2008, Skorobogatov and Zarhin showed that the Brauer group modulo algebraic classes $ ext{Br}\,Y/ ext{Br}_{1}\,Y$ is finite. We study this quotient for the family of surfaces that are geometrically isomorphic to a product of isogenous non-CM elliptic curves, as well as the related family of geometrically Kummer surfaces; both families can be characterized by their geometric Néron–Severi lattices. Over a field of characteristic $0$ , we prove that the existence of a strong uniform bound on the size of the odd torsion of $ ext{Br}Y/ ext{Br}_{1}Y$ is equivalent to the existence of a strong uniform bound on integers $n$ for which there exist non-CM elliptic curves with abelian $n$ -division fields. Using the same methods we show that, for a fixed prime $\ell$ , a number field $k$ of fixed degree $r$ , and a fixed discriminant of the geometric Néron–Severi lattice, $\#( ext{Br}Y/ ext{Br}_{1}Y)[\ell ^{\infty }]$ is bounded by a constant that depends only on $\ell$ , $r$ , and the discriminant.

研究の動機と目的

• 幾何的に同型な非CM楕円曲線の積または幾何的Kummerサーフェスに同型なサーフェスのブラウジャー群を代数的クラスで割ったもの BrY/Br₁Y の構造を調査すること。
• 固定された次数の数体上のこのようなサーフェスに対して、BrY/Br₁Y の奇数 torsion のサイズに対する強い一様な上限が存在するかを特定すること。
• このブラウジャー群の商の均一有界性が、非CM楕円曲線がアーベル的n-分割体を持つような整数nに対する一様な上限の存在とどのように関係するかを関係づけること。
• 固定された素数ℓ、固定された数体の次数r、および固定された幾何的Néron–Severi格子の判別式に対して、BrY/Br₁Y のℓ-主 torsion に対する一様な上限を確立すること。

提案手法

• 研究対象のサーフェスの族を特徴づけるために幾何的Néron–Severi格子を用いる。特に、幾何的に同型な非CM楕円曲線の積または幾何的Kummerサーフェスの族に注目する。
• Galois理論的技法を用いて、非CM楕円曲線のn-分割体の構造を分析し、特にそのGalois群とブラウジャー群との関係に注目する。
• 有限生成なQの拡張上でアーベルサーフェスおよびK3サーフェスの主同型空間に対して、BrY/Br₁Y の有限性が既知の結果であることを活用する。
• BrY/Br₁Y の奇数 torsion に対する強い一様な上限の存在と、非CM楕円曲線がアーベル的n-分割体を持つような整数nに対する強い一様な上限の存在との間の同値性を確立する。
• ℓ-進コホモロジーとNéron–Severi格子の構造を用いて、固定されたℓ、r、および判別式に対して、BrY/Br₁Y のℓ-主 torsion を有界化する。
• 類体論および分割体の理論を用いて、楕円曲線の算術とサーフェスのブラウジャー群の算術とを関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された次数の数体上で、幾何的に同型な非CM楕円曲線の積に同型なサーフェスに対して、BrY/Br₁Y の奇数 torsion のサイズに対する強い一様な上限が存在するか？
• RQ2 BrY/Br₁Y の奇数 torsion に対するこのような一様な上限の存在は、非CM楕円曲線がアーベル的n-分割体を持つような整数nに対する一様な上限を示唆するか？
• RQ3 固定されたℓ、固定された数体の次数r、および固定された幾何的Néron–Severi格子の判別式に対して、BrY/Br₁Y のℓ-主 torsion は一様に有界とみなせるか？
• RQ4 幾何的Néron–Severi格子の構造は、これらのサーフェスのブラウジャー群を代数的クラスで割ったものの制約をどのように受けるか？
• RQ5 非CM楕円曲線間の同種写像は、ブラウジャー群 torsion の一様有界性を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• BrY/Br₁Y の奇数 torsion に対する強い一様な上限の存在は、非CM楕円曲線がアーベル的n-分割体を持つような整数nに対する強い一様な上限の存在と同値である。
• 固定された素数ℓに対して、BrY/Br₁Y のℓ-主 torsion は、ℓ、数体の次数r、および幾何的Néron–Severi格子の判別式にのみ依存する定数によって有界である。
• 固定されたℓ、r、およびNéron–Severi格子の判別式に対して、#(BrY/Br₁Y)[ℓ^∞] の上限は、すべてのこのようなサーフェスに対して一様である。
• 結果は、幾何的に同型な非CM楕円曲線の積に同型なサーフェスおよび幾何的Kummerサーフェスに適用可能であり、両者ともその幾何的Néron–Severi格子によって特徴づけられる。
• 用いられた手法は、分割体のGalois表現とブラウジャー群のコホモロジー的構造との相互作用に依存している。
• 本稿は、ブラウジャー群 torsion の有界性と非CM楕円曲線の分割体次数の有界性との間の明確な算術的幾何的対応関係を確立した。