[論文レビュー] Abelian points on algebraic curves

Pete L. Clark|ArXiv.org|Apr 11, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最大アーベル拡大 ℚ^ab において有理点を持たない、ℚ 上の明示的な代数曲線を構成し、すべての genus g ≥ 4 に対してそのような曲線が存在することを示し、ℚ および ℚ((t)) 上の genus 1 および立方曲線の例を提供する。局所-大域原理、ガロアコhomology、p進体上のノルム形式を用いて、特定の対角的立方曲線および高 genus 曲線にアーベル点が存在しないことを証明し、曲線におけるアーベル点の広範性に関する長年の問いに答えを提示する。

ABSTRACT

We study the question of whether algebraic curves of a given genus g defined over a field K must have points rational over the maximal abelian extension K^{ab} of K. We give: (i) an explicit family of diagonal plane cubic curves with Q^{ab}-points, (ii) for every number field K, a genus one curve C_{/Q} with no K^{ab}-points, and (iii) for every g \geq 4 an algebraic curve C_{/Q} of genus g with no Q^{ab}-points. In an appendix, we discuss varieties over Q((t)), obtaining in particular a curve of genus 3 without (Q((t)))^{ab}-points.

研究の動機と目的

• 数体上に定義された genus g ≥ 1 の代数曲線が、その最大アーベル拡大において必ず有理点を持つのかを特定すること。
• 特に genus 1 および 3 において、アーベル点を持たない明示的かつ単純な例を構成すること。
• 局所体（例：ℚ_p）からの結果を、引き戻し技法およびガロアコhomology を用いて、グローバル体（例：ℚ）へと拡張すること。
• 特に g ≥ 4 において、アーベル点を持たない曲線の存在を調査すること。
• セベリ＝ブローア多様体およびノルム形式が、アーベル点を持たない多様体を構成する上で果たす役割を調査すること。

提案手法

• p進体 ℚ_p 上の対角的立方形式 aX³ + bpY³ + cp²Z³ = 0 を用い、p進付値の議論を活用して、ℚ_p^ab において点を持たない genus 1 曲線を構成する。
• クライマー＝ヴェーバーの定理およびセボタレフ密度定理を適用し、局所的な障害を一般体 K へと拡張し、K^ab において点を持たない曲線を示す。
• ガロアコhomology およびワイエル＝シャタレヴィチ群を用い、rank 0 かつ有限なシャファレヴィチ＝タイト群をもつ楕円曲線を用いて、ℚ 上の genus 1 曲線 C で C(ℚ^ab) = ∅ となるものを構成する。
• 局所曲線をグローバル曲線 ℚ へと引き戻すことで、高 genus 曲線を構成し、アーベル点の不在を保つ。
• Galois 群が S_d である次数 d の数体 K/ℚ に対して、ノルム形式 N(L/K) を用いて、アーベル点を持たない超曲面を構築する。
• 安定還元理論および完全な離散的絶対値体上の曲線における双対グラフへのガロア作用を用い、F((t)) 上の genus 3 曲線で (ℚ((t)))^ab において点を持たないものを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ 上に定義されたすべての genus g ≥ 1 の代数曲線は、ℚ^ab において有理点を持つのか？
• RQ2 ℚ 上に定義された genus 1 曲線で、ℚ^ab において点を持たない明示的例を構成できるか？
• RQ3 すべての g ≥ 4 に対して、ℚ 上に ℚ^ab において点を持たない genus g 曲線が存在するか？
• RQ4 degree d ≥ 3 の幾何学的に有理的な曲線や曲面を、アーベル点を持たない形で構成できるか？
• RQ5 ℚ_p((t)) のような局所体上に定義されたアーベル点を持たない曲線は、ℚ 上のグローバル曲線へと引き上げられるか？

主な発見

• 任意の素数 p ≡ -1 mod 3 および p と互いに素な整数 a,b,c に対して、対角的立方曲線 aX³ + bpY³ + cp²Z³ = 0 は ℚ_p^ab において点を持たない。
• Galois 閉包に ℚ(μ₃) を含まない任意の数体 K に対して、K^ab において点を持たない genus 1 曲線 C/ℚ が存在する。
• 任意の g ≥ 4 に対して、ℚ 上に smooth かつ projective かつ幾何学的に既約な曲線 C/ℚ が存在し、その genus が g で ℚ^ab において点を持たない。
• F((t)) 上の genus 3 曲線で (ℚ((t)))^ab において点を持たないものが、安定還元および双対グラフへのガロア作用を用いて構成される。
• 特異な立方三様体を F 上で解体することで得られる、アーベル点を持たない幾何学的に有理的な曲面 S/F が存在する。
• 任意の d ≥ 3 に対して、ある体 F 上に、一般の 2 次元平面との交わりとしてノルム形式を用いて構成された、degree d の smooth 平面曲線でアーベル点を持たないものが存在する。