[論文レビュー] Abelian topological groups with host algebras

Hendrik Grundling, Karl‐Hermann Neeb|arXiv (Cornell University)|May 16, 2006

Advanced Operator Algebra Research被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非単位元をもつC*-代数のブラックダールによる無限テンソル積を用いて、可算無限次元のシンプレクティック空間 (S,B) 上の正準交換関係（CCRs）をモデル化するC*-代数を構成する。得られた代数は、アーベル群Sのσ表現理論のホスト代数として機能し、その表現空間が正確に正則表現からなることを保証する。これにより、正則表現への直接積分分解が可能になる。

ABSTRACT

The Weyl algebra,- the usual C*-algebra employed to model the canonical commutation relations (CCRs), has a well-known defect in that it has a large number of representations which are not regular and these cannot model physical fields. Here, we construct explicitly a C*-algebra which can reproduce the CCRs of a countably dimensional symplectic space (S,B) and such that its representation set is exactly the full set of regular representations of the CCRs. This construction uses Blackadar's version of infinite tensor products of nonunital C*-algebras, and it produces a host (i.e. a generalised group algebra, explained below) for the \sigma-representation theory of the abelian group S where \sigma(.,.):=e^{iB(.,.)/2}. As an easy application, it then follows that for every regular representation of the Weyl algebra of (S,B) on a separable Hilbert space, there is a direct integral decomposition of it into irreducible regular representations (a known result). An Erratum for this paper is added at the end.

研究の動機と目的

• 標準的Weyl代数に内在する欠陥、すなわち物理的場のモデルに不適切な非正則表現を含む点を是正すること。
• 可算無限次元のシンプレクティック空間上のCCRsの正則表現のみを完全に捉える表現空間を持つC*-代数を構成すること。
• アーベル群Sのσ表現理論のホスト代数を確立すること。ここでσ(x,y) = exp(iB(x,y)/2)である。
• 任意の分離可能なヒルベルト空間上の正則表現が、可約成分への直接積分分解を許容する厳密な代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 非単位元をもつC*-代数の無限テンソル積のブラックダールの定式化を用いて、目的のC*-代数を構成する。
• C*-代数を、σ(x,y) = exp(iB(x,y)/2)であるアーベル群Sのσ表現理論のホスト代数として定義する。
• その代数の表現が、(S,B)上のCCRsの正則表現と正確に一致するように構成する。
• シンプレクティック空間(S,B)の構造を用いて、指数関数的要因exp(iB(x,y)/2)により交換関係をパrameter化する。
• ホスト代数の理論を応用して、表現空間が正確に正則表現の集合となるように保証する。
• 任意の分離可能なヒルベルト空間上の正則表現が、可約な正則表現への直接積分に分解可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算無限次元のシンプレクティック空間上のCCRsの正則表現のみを正確に表現するC*-代数を構成することは可能か？
• RQ2 非単位元をもつC*-代数の無限テンソル積を用いて、アーベル群のσ表現のホスト代数を実現する方法は何か？
• RQ3 構成されたC*-代数は、任意の正則表現を可約成分への直接積分に分解可能か？
• RQ4 アーベル群のσ表現理論のホスト代数として機能するため、C*-代数が満たすべき構造的性質は何か？
• RQ5 標準的Weyl代数の欠陥（非正則表現を含むこと）を、新たな代数的構成によって体系的に解消できるか？

主な発見

• 構成されたC*-代数は、σ(x,y) = exp(iB(x,y)/2)であるアーベル群Sのσ表現理論のホスト代数として実現される。
• C*-代数の表現空間は、シンプレクティック空間(S,B)上のCCRsの正則表現からなる。
• 分離可能なヒルベルト空間上のWeyl代数の任意の正則表現は、可約な正則表現への直接積分に分解可能である。
• 構成は、ブラックダールの非単位元をもつC*-代数の無限テンソル積に依拠しており、正しい表現構造を保証する。
• 得られた代数は非正則表現を排除し、標準的Weyl代数の既知の欠陥を是正する。
• この手法は、物理的に許容可能な表現のみを用いた物理場のモデル化のための標準的枠組みを提供する。