[論文レビュー] Abelian varieties over Q and modular forms

Kenneth A. Ribet|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 1992

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Q-バー上の楕円曲線の推奨されるモジュラー曲線による被覆性を、非CM Q-曲線—すべてのガロア共役と同種である楕円曲線—に焦点を当てて、推測的特徴付けを提案する。非CM Q-曲線は、Q 上のGL(2)-型アーベル多様体のQ-バー単純因子として、かつては正確に生じることを証明し、セールのモジュラリティ予想のもとでは、これらはあるN ≥ 1に対してJ₁(N)の単純因子として正確に生じる。

ABSTRACT

This paper gives a conjectural characterization of those elliptic curves over the field of complex numbers which "should" be covered by standard modular curves. The elliptic curves in question all have algebraic j-invariant, so they can be viewed as curves over Q-bar, the field of algebraic numbers. The condition that they satisfy is that they must be isogenous to all their Galois conjugates. Borrowing a term from B.H. Gross, "Arithmetic on elliptic curves with complex multiplication," we say that the elliptic curves in question are "Q-curves." Since all complex multiplication elliptic curves are Q-curves (with this definition), and since they are all uniformized by modular forms (Shimura), we consider only non-CM curves for the remainder of this abstract. We prove: 1. Let C be an elliptic curve over Q-bar. Then C is a Q-curve if and only if C is a Q-bar simple factor of an abelian variety A over Q whose algebra of Q-endomorphisms is a number field of degree dim(A). (We say that abelian varieties A/Q with this property are of "GL(2) type.") 2. Suppose that Serre's conjecture on mod p modular forms are correct (Ref: Duke Journal, 1987). Then an abelian variety A over Q is of GL(2)-type if and only if it is a simple factor (over Q) of the Jacobian J_1(N) for some integer N\ge1. (The abelian variety J_1(N) is the Jacobian of the standard modular

研究の動機と目的

• Q-バー上の楕円曲線のうち、標準的モジュラー曲線によって均一化されると予想されるものを特徴付けること。特に非CM曲線に焦点を当てる。
• Q-曲線—すべてのガロア共役と同種である楕円曲線—を定義し、研究すること。これは潜在的モジュラリティを持つ曲線のクラスとしての役割を果たす。
• Q 上のGL(2)-型アーベル多様体とQ-曲線との明確な関係を確立すること。
• Q 上のアーベル多様体のモジュラリティを、古典的モジュラーヤコビアンJ₁(N)に結びつけること。
• セールのモジュラリティ予想のもとで、すべてのQ 上のGL(2)-型アーベル多様体が、あるNについてJ₁(N)の単純因子として生じることを証明すること。

提案手法

• Q-曲線を、すべてのガロア共役と同種であるQ-バー上の楕円曲線として定義する。
• Q 上のGL(2)-型アーベル多様体を、絶対的に単純なQ-自己準同型代数が次元に等しい次数の数体であるものとして特徴付ける。
• モジュラーパラメトライゼーション理論と志村による複素乗法の研究を用いて、CM曲線のモジュラリティを確立する。
• セールのmod pモジュラー形式に関する予想を適用し、Q 上のGL(2)-型アーベル多様体がヤコビアンJ₁(N)の単純因子であることを導く。
• ガロア理論的技術を用いて、数体上のアーベル多様体の同種類と自己準同型代数を分析する。
• ヘッケ代数の構造とエイクラー＝志村関係を用いて、モジュラー形式とアーベル多様体を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのQ-バー上の楕円曲線が、標準的モジュラー曲線によって均一化されると予想されるか？
• RQ2 このような曲線をQ-曲線として特徴付ける、正確な代数的幾何的条件は何か？
• RQ3 Q 上のGL(2)-型アーベル多様体とモジュラーヤコビアンJ₁(N)との関係は何か？
• RQ4 Q 上のGL(2)-型アーベル多様体が、あるNについてJ₁(N)の単純因子として生じる条件は何か？
• RQ5 セールのモジュラリティ予想は、Q 上のモジュラー形式とアーベル多様体を結びつける上で果たす役割は何か？

主な発見

• Q-バー上の楕円曲線CがQ-曲線であるための必要十分条件は、CがQ 上のアーベル多様体AのQ-バー単純因子であり、かつAのQ-自己準同型代数が次元に等しい次数の数体であることである。
• セールのmod pモジュラー形式に関する予想を仮定すれば、Q 上のすべてのGL(2)-型アーベル多様体は、あるN ≥ 1に対してJ₁(N)の単純因子として生じる。
• Q-曲線のクラスには、すべての複素乗法楕円曲線が含まれており、これらは志村理論によりモジュラー形式によって均一化可能であることが知られている。
• 非CM Q-曲線は、ガロア共役による同種不変性によって特徴づけられ、この性質がモジュラリティと関連している。
• Q 上のGL(2)-型アーベル多様体のモジュラリティは、セールの予想を仮定すれば、J₁(N)における単純因子としての出現と同値である。
• 本論文は、Q-曲線の算術とモジュラーヤコビアンの幾何学の間の正確な辞書を確立した。