[論文レビュー] Abelian varieties over Q with bad reduction in one prime only

René Schoof|ArXiv.org|Feb 16, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Q 上の半安定アーベル多様体を、1つの素数 l を除いて良い還元を持つものとして分類し、非ゼロのそれらが存在するのは l = 11 のみであることを証明している。一方、l = 2, 3, 5, 7, 13 の場合には、非ゼロの半安定多様体は存在しない。さらに、完全に分岐した拡大体上で半安定還元をとるアーベル多様体が存在するのは l = 2, 3, 5 のみである。これらの結果は、Z[1/l] 上のカテゴリ C および D における p-冪捩れ群スキームの解析に依拠し、コhomologicalな基準と p-可除群の性質を用いて、特定の l に対して矛盾を導出する。

ABSTRACT

Let l be a prime. We show that there do not exist any non-zero semi-stable abelian varieties over Q with good reduction outside l if and only if l=2, 3, 5, 7 or 13. We show that any semi-stable abelian variety over Q with good reduction outside l=11 is isogenous to a power of the Jacobian variety of the modular curve X_0(11). In addition we show that there do not exist any non-zero abelian varieties over Q with good reduction outside l acquiring semi-stable reduction at l over a tamely ramified extension if and only if l \le 5.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、Q 上で1つの素数 l を除いて良い還元を持つ半安定アーベル多様体を分類することである。
• 非ゼロのアーベル多様体が存在する素数 l がどの範囲に限られるかを、特に半安定または完全に分岐した半安定還元の条件下で調査することである。
• Q 上のアーベル多様体で、l を除いて良い還元を持つものについて、それが J0(l) もしくは J0(l²) のべきに同種であるかどうかを特定することである。
• 非ゼロのアーベル多様体が存在しないような、l に関する鋭い数論的条件を、未解決の仮定に依存せずに確立することである。
• 群スキーム理論とガロア表現を用いて、有限性および非存在の結果を導出することである。

提案手法

• 本稿は、Z[1/l] 上の p-冪位数の有限平坦群スキームの2つのカテゴリ C および D を導入し、これらは分岐の作用が純粋で、冪零である状況を捉えている。
• 非ゼロのアーベル多様体が存在しないための2つの基準を定式化する。1つは、Z[1/l] 上での µp と Z/pZ の拡張に関するものであり、もう1つはカテゴリ C および D の単純対象に関するものである。
• 著者たちはカテゴリ D における拡張を計算し、特に l = 2,3,5,7,11,13 の場合に、小さなペア (p,l) について単純対象を分類している。
• l = 11 の場合には、『異質な』群スキーム（例：J0(11) の2階捩れ）が登場するため、通常とは異なる解析が必要となり、p-可除群を用いた別個の分析が行われる。
• 重要な技術的アプローチとして、インertie 群が pn-捩れ点 A[pn] に作用する様子を解析し、l = 2,3,5,7,13 の場合には、このような群スキームが定数群スキームから対角化可能群スキームへの拡張でなければならないことを示し、dim(A) > 0 のとき矛盾を導く。
• l = 11 の証明では、p-可除群に関する定理（定理 8.3）と、フィルトレーションに関する推論を用い、任意の such H が G のべきに同型であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの素数 l に対して、Q 上で l を除いて良い還元を持つ非ゼロの半安定アーベル多様体が存在するか？
• RQ2 どの素数 l に対して、Q 上で l を除いて良い還元を持つ非ゼロのアーベル多様体が、l で完全に分岐した拡大体上で半安定還元をとるか？
• RQ3 Q 上で l = 11 を除いて良い還元を持つすべての半安定アーベル多様体は、J0(11) のべきに同種であるか？
• RQ4 l を除いて良い還元を持ち、l で半安定または完全に分岐した半安定還元を持つアーベル多様体の、p-冪捩れ群スキーム A[pn] の構造的制約は何か？
• RQ5 Z[1/l] 上の群スキームのカテゴリ C および D は、このようなアーベル多様体の捩れ点に働くガロア作用をどのように分類するか？

主な発見

• Q 上で l を除いて良い還元を持つ非ゼロの半安定アーベル多様体が存在するための必要十分条件は、l = 2, 3, 5, 7, 13 でない場合である。
• Q 上で 11 を除いて良い還元を持つすべての半安定アーベル多様体は、ジャコビアン多様体 J0(11) のべきに同種である。
• Q 上で l を除いて良い還元を持つ非ゼロのアーベル多様体が、l で完全に分岐した拡大体上で半安定還元をとるための必要十分条件は、l = 2, 3, 5 でない場合である。
• l = 11 の場合、J0(11) の2階捩れ部分群スキームは、定数群スキームから対角化可能群スキームへの拡張とは同型でない『異質な』群スキームである。
• 分類は、カテゴリ D および C における Ext1 群に関するコhomologicalな基準と、整域の離散付値環を自己準同型環とする p-可除群の構造に依拠している。
• 結果は未解決の仮定（例：一般化されたリーマン予想）に依存せず、Mestre や Calegari の条件付き結果とは対照的に、条件なしで成立する。