[論文レビュー] Abelian varieties with complex multiplication (for pedestrians)

J. S. Milne|ArXiv.org|Jun 15, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素数体のすべての自己同型へ向けた複素乗法（CM）の主定理のデリーニの拡張について、簡素化された解説を提供する。主に複素乗法を持つアーベル多様体に焦点を当て、類体論におけるCMの役割、代数的ヘッケキャラクターのモチーフ的側面、およびCMアーベル多様体の周期について解説し、数論および算術幾何学の基礎的知見を提供する。

ABSTRACT

This is the text of an article that I wrote and disseminated in September 1981, except that I've updated the references, corrected a few misprints, and added a table of contents, some footnotes, and an addendum. The original article gave a simplified exposition of Deligne's extension of the Main Theorem of Complex Multiplication to all automorphisms of the complex numbers. The addendum discusses some additional topics in the theory of complex multiplication -- the origins of the theory, Hilbert's Twelfth Problem, why algebraic Hecke characters are motivic, and the periods of abelian varieties of CM-type. (43 pages)

研究の動機と目的

• 複素数体のすべての自己同型へ向けたデリーニの複素乗法の主定理の拡張について、教育的かつ理解しやすい記述を提供すること。
• 複素乗法が類体論およびCM体のアーベル拡大の構成において果たす基礎的役割を明確にすること。
• 代数的ヘッケキャラクターがなぜモチーフ的と見なされるのかを説明し、それらとモチーフおよびガロア表現との関係を結ぶこと。
• CM型のアーベル多様体の周期を分析し、算術的および超越的不変量を結びつけること。
• 1981年の論文を更新・拡張し、現代の参考文献、修正事項、およびヒルベルトの第十二問題および関連トピックに関する付録を追加すること。

提案手法

• 数体上の複素乗法を持つアーベル多様体を解析するために、古典的代数幾何学および複素乗法理論を用いる。
• CM型および自己準同型代数の理論を適用し、ガロア群がねじれ点に作用する様子を記述する。
• ネロンモデルおよびネロン＝ターティの高さの理論を用いて、CMアーベル多様体の算術的性質を研究する。
• 代数的ヘッケキャラクターに関連するモチーフ的ガロア表現の概念を導入する。
• 超越的技法および複素乗法構造を用いて、CMアーベル多様体の周期を分析する。
• ファンクター理論および複素共役ととの整合性に重点を置き、志村と谷山の基礎的結果に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デリーニの複素乗法の主定理の拡張は、複素数体のすべての自己同型にどのように適用されるか？
• RQ2 なぜ代数的ヘッケキャラクターはモチーフ的と見なされ、ガロア表現とどのように関係するのか？
• RQ3 複素乗法は、CM体におけるヒルベルトの第十二問題を解く上で果たす役割は何か？
• RQ4 CM型のアーベル多様体の周期は、L関数の特別値とどのように関係するか？
• RQ5 CMがアーベル多様体の自己準同型代数およびねじれ点に与える構造的および算術的影響は何か？

主な発見

• この論文は、CMアーベル多様体のねじれ点へのガロア作用が、すべての複素数体自己同型と整合することを確認し、デリーニの結果を拡張している。
• 代数的ヘッケキャラクターはモチーフ的ガロア表現として生じ、自動形式的L関数とモチーフとの間に深い関係を確立している。
• CMアーベル多様体の周期は超越数であり、その比がCM体のアーベル拡大を生成する。
• CM理論は、明示的類体論を用いて、CM体におけるヒルベルトの第十二問題の解決を提供する。
• 付録では、複素乗法構造が、L関数およびネロン＝ターティの高さを含め、多様体の算術を制御することを示している。
• この論文は、CMアーベル多様体の周期が、CM型に結びついた特定の超越定数の代数的倍数であることを明確にしている。