[論文レビュー] Abhyankar places admit local uniformization in any characteristic

Hagen Knaf, Franz‐Viktor Kuhlmann|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、価値論的技法を用いて、任意の特徴値におけるAbhyankar場の局所的均質化を確立する。$K$-自明なAbhyankar場で、分離的である残留体拡張を有するものは、関数体の拡張なしに滑らかな多様体上で局所的均質化が可能であり、この結果は、2次元以下の正則Nagata環上で、欠損なし、 torsion-free かつ分離的条件を満たす非自明な場へと拡張される。

ABSTRACT

We prove that every place $P$ of an algebraic function field $F|K$ of arbitrary characteristic admits local uniformization, provided that the sum of the rational rank of its value group and the transcendence degree of its residue field $FP$ over $K$ is equal to the transcendence degree of $F|K$, and the extension $FP|K$ is separable. We generalize this result to the case where $P$ dominates a regular local Nagata ring $R\subseteq K$ of Krull dimension $\dim R\leq 2$, assuming that the valued field $(K,v_P)$ is defectless, the factor group $v_P F/v_P K$ is torsion-free and the extension of residue fields $FP|KP$ is separable. The results also include a form of monomialization. Further, we show that in both cases, finitely many Abhyankar places admit simultaneous local uniformization on an affine scheme if they have value groups isomorphic over $v_P K$.

研究の動機と目的

• Abhyankar場に注目することで、Zariskiの局所的均質化定理を任意の特徴値に一般化すること。
• 残留体拡張が分離的である場合のAbhyankar場の局所的均質化の未解決問題を解消すること。
• 次元 ≤ 2 の正則局所Nagata環 $R$ 上の非自明な場に対して、欠損なし、 torsion-free および分離的条件を満たす場合に、結果を拡張すること。
• 単項式化形を提供し、要素が正則パラメータの単項式として表現可能であることを示すこと。
• 関数体 $v_P K$ 上で同型な値群を有する有限個のAbhyankar場が、同時に局所的均質化可能であることを証明すること。

提案手法

• 任意の体上の関数体におけるAbhyankar場の構造を分析するために、価値論的技法を用いる。
• トランスセンドンベース $T$ に対して、$\mathcal{O}_K(T)$ の厳密ヘンゼル化の分数体へ関数体 $F$ を埋め込む。
• $(P, Z)$ の対に対して $R$-均質化可能性の概念を適用する。ここで $Z$ は $\mathcal{O}_P$ 内の有限集合である。
• $\dim \mathcal{O}_{X,x} = \dim_{\mathbb{Q}}(v_P F / v_P K \otimes \mathbb{Q}) + 1$ または $+2$ であり、これは基本環 $R$ に依存する。
• すべての $Z$ の要素が $\mathcal{O}_{X,x}$ の正則パラメータの正則系において $\mathcal{O}_{X,x}$-単項式として表現可能であることを保証する。
• 欠損なしの価値体理論および普遍的分類的次元の理論を用いて、$R$ 上の正則モデルの存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特徴値において、関数体の拡張なしにAbhyankar場の局所的均質化が達成可能か？
• RQ2 値群および残留体拡張にどのような条件下で、非$K$-自明な場に対して局所的均質化が成立するか？
• RQ3 同型な値群を有する複数のAbhyankar場は、同時に均質化可能か？
• RQ4 非自明な基本環の場合に、局所的均質化の下で、場の中心における局所環の正確な次元は何か？
• RQ5 Abhyankar場の局所的均質化の文脈で、単項式化はどのように達成可能か？

主な発見

• 分離的残留体拡張を有するすべての $K$-自明なAbhyankar場は、関数体の拡張なしに滑らかな多様体上で局所的均質化が可能である。
• 次元 $\leq 2$ の正則局所Nagata環 $R$ 上の非自明なAbhyankar場に対して、$(K,P)$ が欠損なし、$v_P F / v_P K$ が torsion-free であり、$FP/KP$ が分離的である場合、局所的均質化が成立する。
• 場の中心 $x$ における局所環 $\mathcal{O}_{X,x}$ の次元は、$\mathcal{O}_K$ が離散的価値環である場合、$\dim \mathcal{O}_{X,x} = \dim_{\mathbb{Q}}(v_P F / v_P K \otimes \mathbb{Q}) + 1$ であり、そうでない場合は $+2$ である。
• 与えられた有限集合 $Z \subset \mathcal{O}_P$ のすべての要素が、$\mathcal{O}_{X,x}$ の正則パラメータの正則系において単項式として表現可能である。
• 関数体 $v_P K$ 上で同型な値群を有する有限個のAbhyankar場は、単一のアフィンスキーム上で同時に局所的均質化可能である。
• 基本環 $R$ は必然的にNagata環であり、欠損なしの条件は、$R/p$ の有限拡張における整閉包の整域性を保証する。