[論文レビュー] About Countably-Normed Spaces

Jeremy J. Becnel|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2004

Approximation Theory and Sequence Spaces被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、可算ノルム空間の基礎的概要を提供し、その双対空間上の弱位相、強位相、帰納位相およびそれらが生成するσ集合族に焦点を当てる。白ノイズ解析への応用を支援するため、局所基底や近傍構造を含む、位相線形空間理論の基本的枠組みを確立し、その後続の関数解析的展開のための厳密なフレームワークを提供する。

ABSTRACT

Abstract. Here we present an overview of countably-normed spaces. In particular, we discuss the main topologies—weak, strong, and inductive—placed on the dual of a countably-normed space and discuss the σ-fields generated by these topologies. The purpose in mind is to provide the background material for many of the results used is White Noise Analysis. 1. Topological Vector Spaces In the introduction we place some the basic notions of topological vector spaces along with proofs of a few useful results. 1.1. Topological Preliminaries. Let E be a real vector space. A vector topology τ on E is a topology such that addition E × E → E: (x, y) ↦→ x + y and scalar multiplication R × E → E: (t, x) ↦ → tx are continuous. If E is a complex vector space we require that C × E → E: (α, x) ↦ → αx be continuous. It is useful to observe that when E is equipped with a vector topology, the translation maps tx: E → E: y ↦ → y + x are continuous, for every x ∈ E, and are hence also homeomorphisms since t −1 x = t−x. A topological vector space is a vector space equipped with a vector topology. Recall that a local base of a vector topology τ is a family of open sets {Uα}α∈I containing 0 such that if W is any open set containing 0 then W contains some Uα. A set W that contains an open set containing x is called a neighborhood of x. If U is any open set and x any point in U then U − x is an open neighborhood of 0 and hence contains some Uα, and so U itself contains a neighborhood x + Uα of x: (1.1) If U is open and x ∈ U then x + Uα ⊂ U, for some α ∈ I Doing this for each point x of U, we see that each open set is the union of translates of the local base sets Uα. If Ux denotes the set of all neighborhoods of a point x in a topological space X, then Ux has the following properties: 1. x ∈ U for all U ∈ Ux 2. if U ∈ Ux and V ∈ Ux, then U ∩ V ∈ Ux 3. if U ∈ Ux and U ⊂ V, then V ∈ Ux. 4. if U ∈ Ux, then there is some V ∈ Ux with U ∈ Uy for all y ∈ V. (taking V to be the interior of U is sufficient).

研究の動機と目的

• 可算ノルム空間の双対空間を理解するのに必要な位相的枠組みを確立すること。
• これらの双対空間における弱位相、強位相、帰納位相の性質を明確にすること。
• これらの位相が生成するσ集合族を定義し、それらを分析すること。
• 白ノイズ解析の高度な展開の前提として、局所基底や近傍系を含む、位相線形空間の基本的準備事項を提供すること。
• 白ノイズ解析の今後の研究を支援するために、重要な位相的および測度論的構造を形式化すること。

提案手法

• 実または複素ベクトル空間 E におけるベクトル位相の定義を用い、加法およびスカラー乗法の連続性を保証する。
• 0における局所基底の概念を導入し、その構成要素が開集合 {Uα}α∈I で、0の任意の近傍がそのうちのある Uα を含むようにする。
• 位相の平行移動不変性を用いて、位相線形空間における任意の開集合が、局所基底要素の平行移動の和集合であることを示す。
• 近傍公理を適用し、点 x の近傍族 Ux が有限交差および上向き閉じ性を満たすことを示す。
• 任意の x ∈ U で U が開集合であるとき、U がすべての y ∈ V に対して Uy に属するような x の近傍 V ⊂ U が存在することを示す。ここでは U の内部を V として用いる。
• 標準的な位相的性質に依拠して、位相線形空間における開集合および近傍の構造的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算ノルム空間の双対空間の主な位相的性質は何か。特に弱位相、強位相、帰納位相においては？
• RQ2 局所基底および近傍系は、位相線形空間における開集合をどのように特徴付けるか？
• RQ3 位相線形空間において、開集合と局所基底要素の平行移動との関係は何か？
• RQ4 双対空間上の異なる位相が生成するσ集合族どうしの関係は何か？
• RQ5 白ノイズ解析の発展を支援するために必要な基礎的位相的構造は何か？

主な発見

• 位相線形空間における点 x を含む任意の開集合 U は、局所基底要素 Uα の平行移動 x + Uα を含み、これにより構造の局所的均一性が保証される。
• 点 x の近傍族 Ux は標準的な位相的公理を満たす：空でなく、有限交差について閉じており、上向き閉じている。
• 任意の開集合 U と点 x ∈ U に対して、U に含まれる x の近傍 V が存在し、すべての y ∈ V に対して U が y の近傍となる。これは局所的正則性を示唆する。
• 位相線形空間の位相は平行移動不変性を持つため、すべての平行移動写像が位相空間の同相写像である。
• 位相線形空間における開集合の構造は、0における局所基底によって完全に決定される。なぜなら、任意の開集合がこれらの基底要素の平行移動の和集合であるからである。
• ベクトル演算（加法およびスカラー乗法）の連続性により、位相的構造が代数的ベクトル空間演算と整合的であることが保証される。