[論文レビュー] About Kendall's regression

Alexis Derumigny, Jean‐David Fermanian|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、変数間の依存関係を共変数の下で推定するための罰則付き回帰モデルを提案する。変換された共変数の柔軟な基底展開を用いて、条件付きケンダルのtauの推定を行う。明確な定数を伴う非漸近的バインディングを確立し、2段階推定量の一致性および漸近正規性を証明し、スパarsity下でのオラクル性およびモデル選択の一致性を示す。

ABSTRACT

Conditional Kendall's tau is a measure of dependence between two random variables, conditionally on some covariates. We assume a regression-type relationship between conditional Kendall's tau and some covariates, in a parametric setting with a large number of transformations of a small number of regressors. This model may be sparse, and the underlying parameter is estimated through a penalized criterion. We prove non-asymptotic bounds with explicit constants that hold with high probabilities. We derive the consistency of a two-step estimator, its asymptotic law and some oracle properties. Some simulations and applications to real data conclude the paper.

研究の動機と目的

• 共変数を用いて2つの確率変数間の依存関係を条件付きケンダルのtauとしてモデル化すること。
• 高次元で非パラメトリックな条件付き依存関係の推定という課題に、パラメトリックな基底展開回帰フレームワークを導入することで対処すること。
• 共変数が依存関係に与える影響の推論を可能とし、特にコプールモデルにおける「簡略化仮定」の検定を可能とすること。
• 核スムージングに比べてサンプルサイズに伴いスケーリングが著しく悪化する問題を解消する、計算的に効率的な代替手法を開発すること。
• 非漸近的バインディング、一貫性、漸近正規性、オラクル性といった理論的保証を推定量に対して確立すること。

提案手法

• 共変数の基底関数の線形結合として変換された条件付きケンダルのtauをモデル化する：$ \Lambda(\tau_{1,2|\mathbf{Z}=\mathbf{z}}) = \mathbf{\psi}(\mathbf{z})^T \boldsymbol{\beta}^* $、ここで$ \Lambda $はフィッシャー変換などのリンク関数である。
• スパarsityとモデル選択を促進するため、高次元パrameterベクトル$ \boldsymbol{\beta} $の推定に罰則付き基準（例：Lasso型）を用いる。
• 各共変数値における条件付きケンダルのtauの推定に、核ベースの推定法を用い、正則性条件の下で理論的バインディングを導出する。
• 核および設計密度のモーメントおよびエントロピー条件に基づき、推定量の非漸近的集中不等式を確立する。
• バンド幅、核、密度に関する正則性条件下で、2段階推定量の漸近正規性を導出する。
• 2段階推定手順を採用する：まず核スムージングにより条件付きケンダルのtauを推定し、次に罰則付き回帰により変換されたtauを共変数の基底関数で回帰する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 柔軟でパラメトリックな回帰モデルは、共変数と条件付きケンダルのtauの関数的関係を効果的に表現できるか？
• RQ2 条件付き依存関係の罰則付き2段階推定量に対して、どのような理論的保証（一貫性、漸近正規性、オラクル性）を確立できるか？
• RQ3 提案されたフレームワークを用いて、ペアコプールモデルにおける「簡略化仮定」をどのように検定できるか？
• RQ4 明確な定数を伴う、推定された条件付きケンダルのtauの非漸近的誤差バインディングは何か？
• RQ5 計算コストと統計的効率性の観点から、罰則付き回帰アプローチは非パラメトリックな核スムージングと比べてどのように異なるか？

主な発見

• 条件付きケンダルのtauの推定誤差に対して、明確な定数を伴う非漸近的バインディングが、高い確率で成立することが導出された。
• バンド幅、核、密度に関する正則性条件下で、2段階罰則付き推定量は一貫性および漸近正規性を有する。
• 推定量はオラクル性を達成しており、高い確率で正しいモデルを選択し、非ゼロ係数を真のモデルが分かっているかのように推定する。
• 本手法により、共変数が依存関係に影響を与えるかどうかを評価することで、コプールモデルにおける「簡略化仮定」の検定が可能になる。
• シミュレーションおよび実データ応用により、良好な有限標本性能を示し、スパースで非線形な依存構造を効果的に回復できることを確認した。
• パラメトリック回帰フレームワークのおかげで、特に大規模データセットにおいて、核スムージングに比べて計算コストを顕著に低減できた。