[論文レビュー] About Some Quadratic Scalar Curvatures and the $h_{4}$ Yamabe Equation

Mohammed Larbi Labbi|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元 $n \geq 4$ の閉リーマン多様体上の $h_4$ ヤウメーベ問題を調査し、第4ゴースト・ボンネット曲率 $h_4$ と $\sigma_2$ 曲率の間の直接的な公式を確立し、$n \geq 6$ の場合、いくつかの状況で $\sigma_2$ 曲率が負であっても、$n$-トーラス上で $h_4$ が正である可能性を示している。一般化されたノイトン変換を導入し、すべてのゴースト・ボンネット曲率に対してアベツ型の公式を導出し、$h_4$-ヤウメーベ方程式が共形因子に関して変分的かつ完全非線形的であることを証明している。

ABSTRACT

This is a paper based on a talk given at the conference on Conformal Geometry which held at Roscoff in France in the 2008 summer. We study some aspects of the equation arising from the problem of the existence on a given closed Riemannian manifold of dimension at leat 4, of a conformal metric with constant $h_4$ curvature. We establish a simple formula relating the second Gauss-Bonnet curvature $h_4$ to the $σ_2$ curvature and we study some positivity properties of these two quadratic curvatures. We use different quadratic curvatures to characterize space forms, Einstein metrics and conformally flat metrics. In the appendix we introduce natural generalizations of Newton transformations, the corresponding Newton identities are used to obtain Avez type formulas for all the Gauss-Bonnet curvatures.

研究の動機と目的

• 次元 $n \geq 4$ の閉リーマン多様体上での定数 $h_4$ 曲率をもつ共形計量の存在を調査すること。
• 2次曲率 $h_4$ と $\sigma_2$ の間の正確な代数的関係を確立すること。
• 空間形、アインシュタイン計量、共形平坦計量を $h_4$ と $\sigma_2$ 曲率を用いて特徴付けること。
• ノイトン変換を一般化し、すべてのゴースト・ボンネット曲率に対するトレース恒等式を導出すること。
• 次元 $n \geq 4$ における完全非線形 $h_4$-ヤウメーベ方程式を定式化し、その解析を行うこと。

提案手法

• 二重形式の外微分代数を用いて $h_{2k}$, $\sigma_k$, アインシュタイン＝ロヴェロックテンソルを定義・関連付ける。
• $h_4$ と $\sigma_2$ を曲率の縮約とトレース恒等式を用いて結ぶ閉じた表現を導出する。
• 一般化されたノイトン変換 $N_{pk}$ を用いて、ゴースト・ボンネット曲率を曲率テンソルの内積として表現する。
• $h_4$-ヤウメーベ方程式が共形変更の下で $H_4$ 機能のオイラー＝ラグランジュ方程式として生じることを証明する。
• 一般化されたノイトン作用素 $N_p$ の共形不変性および自己随伴性を確立する。
• $\langle N_{2k}(R), R \rangle = h_{2k+2}$ の恒等式を用いて、すべての $h_{2k}$ 曲率に対するアベツ型の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上での2次曲率 $h_4$ と $\sigma_2$ の間の代数的関係は何か？
• RQ2 $n \geq 6$ の場合、$\sigma_2$ が負である場合でも、トーラス $T^n$ のようなコンパクト多様体上で $h_4$ 曲率が正であることは可能か？
• RQ3 計量が定数 $h_4$ または $\sigma_2$ 曲率を持つための必要十分条件は何か？
• RQ4 一般化されたノイトン変換は、古典的恒等式を高次のゴースト・ボンネット曲率へどのように拡張するか？
• RQ5 次元 $n \geq 4$ における $h_4$-ヤウメーベ方程式の正確な形は何か？また、それは変分的であるか？

主な発見

• $h_4$ と $\sigma_2$ を結ぶ簡単な公式が得られた：$h_4 = \sigma_2 - \frac{1}{2}|cR|^2 + \frac{1}{4}|c^2R|^2$。
• $n$ 次元トーラス $T^n$ は、すべての $n \geq 6$ に対して、定数の正の $h_4$ 曲率をもつ計量を有するが、いくつかの状況では $\sigma_2$ 曲率が負である。
• 非負の断面曲率、正のリッチ曲率、正のアインシュタイン曲率、正の $h_4$ をもつ計量が存在するが、$\sigma_2 < 0$ であるため、$h_4$ と $\sigma_2$ は符号の振る舞いにおいて同値ではないことが示された。
• $h_4$-ヤウメーベ方程式が、$\mathcal{L}_g(f)$ をラプラシアン型の非線形微分作用素とする完全非線形偏微分方程式 $h_4 + \mathcal{L}_g(f) = \lambda e^{4f}$ の形で与えられることを示した。
• 一般化されたノイトン変換 $N_{pk}$ が導入され、$h_{2k+2} = \langle N_{2k}(R), R \rangle$ が証明された。これにより、すべてのゴースト・ボンネット曲率に対する新しいアベツ型の公式が可能になった。
• $h_{2k}$-ヤウメーベ問題は $n > 2k$ のとき変分的であることが証明され、$h_4$-ヤウメーベ方程式が共形変更の下で $H_4$ 機能のオイラー＝ラグランジュ方程式であることが示された。