[論文レビュー] About Stable Periodic Helixes, L-iteration and Chaos Generated by Unbounded Functions

Andrei Vieru|ArXiv.org|Feb 11, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、力学系における周期軌道の一般化として安定周期的ヘリシスを導入し、周期軌道の要件を満たさない非有界関数のための新しい反復フレームワークであるL反復を提案する。非周期的秩序が長期間にわたり秩序を模倣するなど、混沌が急激に出現し、予測不能性、非周期的秩序、混沌は決定論的系ですら明確に異なる概念であることが明らかになる。

ABSTRACT

We consider stable periodic helixes as a generalization of stable periodic orbits. We see that in the studied class of iterated functions Chaos always arise suddenly. Therefore, we shall study the route from chaos to order rather than the route from order to chaos. We show that, paradoxically, genuine Chaos may look as much like Order and during as many iteration steps as one may wish. Then, we shall propose a generalization of the idea of map iteration that do not imply the existence of periodic orbits. We shall show that, within a strictly deterministic context, unpredictability, aperiodic order, sensitive dependence and chaos are completely different concepts and we shall try to show what this difference is made of. We shall also propose an example of non chaotic aperiodic order.

研究の動機と目的

• 力学系における構造的概念として、周期軌道を安定周期的ヘリシスへ一般化すること。
• 本稿で考察された関数のクラスにおいて混沌が急激に出現するため、秩序への遷移を混沌への逆転遷移よりも重視して調査すること。
• 決定論的系における予測不能性、非周期的秩序、混沌の概念的違いを明確にすること。
• 周期軌道の存在を要件としない一般化された反復法—L反復を提案すること。
• 非混沌的であるが非周期的である系の具体例を提示し、非周期性が混沌を意味するという仮定に挑戦すること。

提案手法

• 周期軌道の位相的一般化として安定周期的ヘリシスの概念を導入し、繰り返しはしないが構造的な再帰を可能にする。
• 非有界関数のためのL反復を新規に開発し、固定点や周期点に依存しない反復フレームワークを構築する。
• 反復された非有界関数の力学的挙動を分析し、混沌が急激に出現し、長期間にわたり秩序を模倣することを示す。
• 位相的および力学系理論を用いて、混沌、予測不能性、非周期的秩序を区別する。
• 決定論的で非周期的かつ非混沌的系の具体例を構築し、非周期的挙動が混沌を意味するとは限らないことを示す。
• 37-02（力学系）の概念を応用し、力学系の構造的性質と行動的性質の違いを形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界力学系におけるより複雑な再帰的構造を捉えるために、周期軌道をどのように一般化できるか？
• RQ2 なぜ本稿で考察された非有界関数のクラスにおいて混沌が急激に出現するのか？ これは混沌への道筋にどのような意味を持つのか？
• RQ3 混沌の力学的挙動が、長期間の反復列においてどれほど秩序の挙動を模倣できるか？
• RQ4 決定論的系において、予測不能性、非周期的秩序、混沌はどのように区別されるか？
• RQ5 系が非周期的かつ非混沌的挙動を示すことは可能か？ もしそうなら、どのように構築し、特徴づけられるか？

主な発見

• 安定周期的ヘリシスは、周期的でないが構造的な再帰を記述できる周期軌道の位相的一般化を提供する。
• 非有界関数のクラスにおいて混沌が急激に出現するため、混沌から秩序への遷移が、従来の秩序から混沌への遷移よりもより関連性が高くなる可能性がある。
• 真の混沌が、反復列の任意に長い期間にわたり秩序と区別がつかないほどに現れるため、混沌の挙動に関する直感的認識に挑戦する。
• 予測不能性、非周期的秩序、混沌は、決定論的系において根本的に異なる概念であり、たとえ共存したり外見が重なったりしてもそうである。
• 非混沌的で非周期的かつ決定論的な系が明示的に構築され、非周期性が混沌を意味するとは限らないことを証明した。
• L反復により、周期軌道の存在を要件としない非有界関数の力学的挙動の分析が可能になり、反復的解析の範囲が拡張された。