[論文レビュー] About the barotropic compressible quantum Navier-Stokes equations

Marguerite Gisclon, Ingrid Lacroix–Violet|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、密度に依存する粘性と特異的冷圧を有する圧縮性量子ナビエ＝ストークス方程式に対する弱解のグローバル存在を確立し、スケーリングされたプランク定数 $\varepsilon$ に依存しない一様推定を可能にした。$\varepsilon \to 0$ の極限において解が古典的圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に収束することを証明し、3次元における $\gamma > 3$ の制限的仮定を不要にした。冷圧正則化を用いた新規な弱形式により、厳密な漸近的極限を得た。

ABSTRACT

In this paper we consider the barotropic compressible quantum Navier-Stokes equations with a linear density dependent viscosity and its limit when the scaled Planck constant vanish. Following recent works on degenerate compressible Navier-Stokes equations, we prove the global existence of weak solutions by the use of a singular pressure close to vacuum. With such singular pressure, we can use the standard definition of global weak solutions which also allows to justify the limit when the scaled Planck constant denoted by $ε$ tends to 0.

研究の動機と目的

• 圧縮性量子ナビエ＝ストークス方程式に対して、線形密度依存粘性と特異的冷圧を有する弱解のグローバル存在を確立すること。
• 従来の $n\phi$ による運動量方程式のテストを用いた研究で必要とされた $\gamma > 3$ の制限的仮定を、3次元で排除すること。
• スケーリングされたプランク定数 $\varepsilon$ における一様推定を導出し、漸近的極限 $\varepsilon \to 0$ を正当化すること。
• $n\phi$ による標準的弱形式を、冷圧 $p_c(n)$ を組み込んだより強固な形式に置き換えること。
• $\varepsilon \to 0$ の極限において解を厳密にとらえ、古典的圧縮性ナビエ＝ストークス方程式（密度に依存する粘性を有する）に収束することを示すこと。

提案手法

• 密度 $n \leq 1$ の場合に $c n^{-4k-1}$、$n > 1$ の場合に $n^{\gamma-1}$ と定義される特異的冷圧 $p_c(n)$ を導入し、密度の正値性を保証するとともに、コンパクトネスを向上させる。
• 量子補正項 $-2\varepsilon^2 n \nabla(\Delta\sqrt{n}/\sqrt{n})$ を保持する冷圧を含む正則化された系を用いて、近似解を構築する。
• Aubin-Simonの補題を $\sqrt{n_\tau}$ および $1/\sqrt{n_\tau}$ に適用し、それぞれ $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ における強収束と a.e. 収束を導出する。
• $\sqrt{n_\tau}$ について $L^2(0,T;H^1(\Omega))$ における一様有界性と、$\partial_t \sqrt{n_\tau}$ について $L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))$ における一様有界性を確立し、Aubin-Simonのコンパクトネスによる適用を可能にする。
• 強収束する $\sqrt{n_\tau} u_\tau$ を用いて運動量方程式において極限を取る。$\sqrt{n_\tau}$ の勾配の弱収束を用いる。
• $\varepsilon \to 0$ の極限において量子項が消えることを正当化する。$2\varepsilon^2 \int \sqrt{n} \nabla\sqrt{n} \cdot \nabla\phi \leq C\varepsilon^2 \to 0$ が $\varepsilon$ に依存せずに成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元における $\gamma > 3$ を要件としない圧縮性量子ナビエ＝ストークス方程式に対して、グローバル弱解を構成できるか？
• RQ2 スケーリングされたプランク定数 $\varepsilon$ における一様推定を達成でき、$\varepsilon \to 0$ の漸近的極限を可能にするか？
• RQ3 特異的冷圧 $p_c(n)$ の導入により、弱形式におけるより強いコンパクトネスと安定性が得られるか？
• RQ4 $n\phi$ によるテストに基づく標準的弱形式を、$\varepsilon$ 依存の推定を回避するより強固な形式に置き換えられるか？
• RQ5 $\varepsilon \to 0$ の極限における量子ナビエ＝ストークス系の極限は何か？また、それは密度に依存する粘性を有する古典的圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に収束するか？

主な発見

• 線形密度依存粘性と冷圧を有する圧縮性量子ナビエ＝ストークス方程式に対して、3次元における $\gamma \leq 3$ であっても、弱解のグローバル存在が保証される。
• 冷圧 $p_c(n)$ は密度の正値性を保証し、$\sqrt{n_\tau}$ および $1/\sqrt{n_\tau}$ の $L^2$ 収束により強力なコンパクトネスを実現する。
• $\varepsilon$ に一様な推定が得られ、$\varepsilon$ に依存する項に依存せずに $\varepsilon \to 0$ の極限をとることが可能になる。
• 量子補正項 $-2\varepsilon^2 n \nabla(\Delta\sqrt{n}/\sqrt{n})$ は、$C\varepsilon^2$ の有界性により、$\varepsilon \to 0$ の極限で消える。
• $\varepsilon \to 0$ の極限において、$\sqrt{n^\varepsilon} u^\varepsilon$ が $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ で強収束し、$p(n^\varepsilon), p_c(n^\varepsilon)$ が $L^1(0,T;L^1(\Omega))$ で収束することが確立された。
• $\varepsilon \to 0$ の極限における系は、密度に依存する粘性を有する古典的圧縮性ナビエ＝ストークス方程式であり、量子モデルが半古典的領域で物理的に整合的であることを確認した。