[論文レビュー] About the possibility of minimal blow up for Navier-Stokes solutions with data in $\dot{H}^s(R^3)$

Eugénie Poulon|arXiv (Cornell University)|May 22, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の初期データが同次ソボレフ空間 $\dot{H}^s(\mathbb{R}^3)$ に属する場合に、$\frac{1}{2} < s < \frac{3}{2}$ の範囲で最小の爆発解が存在するかを調査する。プロファイル分解とスケーリングの議論を用いて、このような最小爆発解が存在するならば、臨界的正則性および減衰性を満たす必要があることを示し、エスコリアーザ＝セレジン＝シュヴァークおよびギャラーガー＝コック＝プラナンの $L^3$-有界爆発解に関する枠組みを拡張する。

ABSTRACT

Considering initial data in $\dot{H}^s$, with $\frac{1}{2} extless{} s extless{} \frac{3}{2}$, this paper is devoted to the study of possible blowing-up Navier-Stokes solutions such that $(T*(u\_{0}) -t)^{\frac{1}{2} (s- \frac{1}{2})} \,\, \| u \|\_{\dot{H}^s}}$ is bounded. Our result is in the spirit of the tremendous works of L. Escauriaza, G. Seregin, and V. $\breve{\mathrm{S}}$ver$\acute{\mathrm{a}}$k and I. Gallagher, G. Koch, F. Planchon, where they proved there is no blowing-up solution which remain bounded in $L^3(R^3)$. The main idea is that if such blowing-up solutions exist, they satisfy critical properties.

研究の動機と目的

• 初期データが $\dot{H}^s(\mathbb{R}^3)$ に属する3次元ナビエ＝ストークス解が、$\frac{1}{2} < s < \frac{3}{2}$ の範囲で $\dot{H}^s$-ノルムにおいて可能な限り遅いレートで有限時間にわたって爆発する解が存在するかを調査すること。
• そのような仮想的な最小爆発解の構造を、それが存在すると仮定したもとで同定すること。
• 臨界的スケーリングとプロファイル分解を用いて、既知の $L^3$ および $\mathcal{BMO}^{-1}$ における非爆発結果を $\dot{H}^s$-フレームワークに拡張すること。
• このような最小爆発解が、爆発時刻に近い段階で特定の漸近的挙動を示す必要があることを確立すること、特にスケーリングされた $\dot{H}^s$-ノルムの有界性を含む。

提案手法

• 初期データを $\dot{H}^s$ でプロファイル分解し、潜在的な爆発列の漸近的構造を分析する。
• ナビエ＝ストークス方程式のスケーリング不変性を用いて、臨界ノルムを定義する：$(T_* - t)^{\frac{1}{2}(s - \frac{1}{2})} \|u(t)\|_{\dot{H}^s}$。これは最小爆発解の下で有界であると仮定される。
• 熱流動作用素 $e^{t\Delta}$ を用いて、分解におけるプロファイルと誤差項の時間発展を制御する。
• 周波数空間のダイアディック分解を用いて、異なる周波数スケール間の寄与を分離し、それらの相互作用を制御する。
• コンパクトネスの議論と、スケーリングおよび平行移動に関して最小化列の存在を用いて、極限プロファイルを抽出する。
• 正則性とエネルギー散逸を制御するため、$X^s_T$-ノルムの有界性：$\|u\|_{X^s_T}^2 = \|u\|_{L^\infty_T(\dot{H}^s)}^2 + \|u\|_{L^2_T(\dot{H}^{s+1})}^2$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが $\dot{H}^s(\mathbb{R}^3)$ に属するナビエ＝ストークス解が、$\frac{1}{2} < s < \frac{3}{2}$ の範囲で $\dot{H}^s$-ノルムにおいて可能な限り遅いレートで有限時間にわたって爆発する解が存在するか？
• RQ2 そのような最小爆発解が存在すると仮定した場合、どのような構造的性質を満たす必要があるか？
• RQ3 プロファイル分解法を用いて、このような解が爆発時刻に近い段階で示す漸近的挙動を同定できるか？
• RQ4 ナビエ＝ストークス方程式のスケーリング不変性が、$s \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ の範囲における $\dot{H}^s$ 内の可能な爆発レートをどのように制限するか？
• RQ5 このような最小爆発解の存在が、$L^3$ や $\mathcal{BMO}^{-1}$ における既知の非爆発基準と整合するか？

主な発見

• $\dot{H}^s(\mathbb{R}^3)$ 内に最小爆発解が存在するならば、量 $(T_* - t)^{\frac{1}{2}(s - \frac{1}{2})} \|u(t)\|_{\dot{H}^s}$ は時間にわたって一様に有界である。
• そのような解の存在は、$T_* \|u_0\|_{\dot{H}^s}^{\sigma_s}$ の下限を達成する最小化初期データ列の存在を意味する。ここで $\sigma_s = \frac{1}{\frac{1}{2}(s - \frac{1}{2})}$ である。
• 初期データのプロファイル分解により、解はスケーリングおよび平行移動されたプロファイルの和に分解され、誤差項は $n \to \infty$ のとき $L^\infty_T(\dot{H}^s)$ で消える。
• プロファイル分解の収束は、解の $\dot{H}^s$-ノルムが爆発までの時間要因と丁度釣り合うレートで爆発することを示唆する。
• 証明は、プロファイル分解における誤差項 $R_n^J$ が $n \to \infty$、$J \to \infty$ のとき $L^\infty_T(\dot{H}^s)$ でゼロに近づくこと、したがってプロファイル構造の漸近的安定性が保証されることに依存する。
• スケーリング下での $\dot{H}^s$-ノルムの有界性は、極限プロファイルが臨界解であることを示し、元の式と同一のスケーリング不変性を満たす必要がある。